Miara borelowska - Google

Miara borelowska

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Miara borelowska - przeliczalnie addytywna miara określona na borelowskich podzbiorach danej przestrzeni topologicznej.

[edytuj] Definicje

W literaturze istnieją pewne niekonsekwencje w definiowaniu miar borelowskich spowodowane głównie różnymi interpretacjami borelowskich podzbiorów danej przestrzeni topologicznej.

Borelowskie podzbiory przestrzeni X to elementy σ-pierścienia zbiorów {\mathcal B}^*(X) generowanego przez zwarte podzbiory X.
Miara borelowska na przestrzeni X to funkcja \mu:{\mathcal B}^*(X)\longrightarrow [0,\infty] taka, że
(i) \mu\left(\bigcup\limits_{n=1}^\infty E_n\right)=\sum\limits_{n=1}^\infty\mu(E_n) ilekroć \{E_1,E_2,E_3,\ldots\} jest rodziną parami rozłącznych zbiorów z {\mathcal B}^*(X), oraz
(ii) \mu(C)<\infty dla każdego zwartego zbioru C\subseteq X.
  • Wielu innych autorów przyjmuje bardzo podobnÄ… definicjÄ™, zastÄ™pujÄ…c jednak σ-pierÅ›cieÅ„ zbiorów {\mathcal B}^*(X) przez σ-algebrÄ™ zbiorów {\mathcal B}^+(X) generowanÄ… przez zwarte podzbiory przestrzeni X.
  • Jeszcze inni autorzy, np Heinz[2], zastÄ™pujÄ… użycie {\mathcal B}^*(X) przez σ-algebrÄ™ {\mathcal B}(X) generowanÄ… przez otwarte podzbiory X.

Należy jednak zauważyć, że jeśli przestrzeń X jest lokalnie zwartą przestrzenią Lindelöfa, to domknięte podzbiory X są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, więc {\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X). Zatem jeśli X jest lokalnie zwarta i σ-zwarta (czyli może być przedstawiona jako suma przeliczalnie wielu zbiorów zwartych), to {\mathcal B}(X)={\mathcal B}^*(X)={\mathcal B}^+(X), więc w szczególności dla przestrzeni euklidesowych te trzy rodziny zbiorów są równe.

[edytuj] Bibliografia

  1. ↑ Halmos, Paul R.: Measure Theory, Graduate Texts in Mathematics Vol. 18, Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2001, s 219. ISBN 3-540-90088-8
  2. ↑ König, Heinz: Measure and integration. An advanced course in basic procedures and applications. Springer-Verlag, Berlin, 1997. ISBN 3-540-61858-9

[edytuj] Zobacz też


Guzman zrezygnował z tytułu WBO, Arthur nowym mistrzem świata
Pochodzący z Dominikany Joan Guzman zrezygnował z tytułu bokserskiego mistrza świata w wadze junior lekkiej organizacji WBO. Nowym czempionem został Szkot Alex Arthur, który dotychczas był tymczasowym (interim) mistrzem.
Skandal we WÅ‚oszech - bliskie zwiÄ…zki Interu z mafiÄ…
Włoska policja podsłuchująca od dwóch lat mafijnego bossa ma dowody, że piłkarze i działacze Interu kontaktowali się z nim telefonicznie 1686 razy - pisze korespondent "Rzeczpospolitej" z Rzymu.
Fabus przedłużył kontrakt
Martin Fabus doszedł do porozumienia z działaczami Ruchu Chorzów i przedłużył wygasający w czerwcu tego toku kontrakt z "Niebieskimi". Nowa umowa będzie obowiązywała do 2010 roku.
"Chciałbym, żeby były wielkie emocje, a na to się zanosi"
Zdaniem prezesa Polskiego Związki Koszykówki Romana Ludwiczuka finałowa walka o mistrzostwo Polski koszykarzy powinna być równie emocjonująca jak tegoroczna rywalizacja w ekstraklasie koszykarek, zakończona w siódmym meczu zwycięstwem Wisły w Gdyni nad Lotosem po dogrywce.
PLK: w finale ponownie Prokom i PGE
Po raz drugi z rzędu w walce o mistrzostwo Polski koszykarzy zagrają drużyny PGE Turów Zgorzelec i Prokomu Trefla Sopot. Rywalizacja, która toczyć się będzie do czterech zwycięstw, rozpoczyna się w sobotę w Zgorzelcu.
Linki: Strona g³ówna