Minimum i maksimum (funkcje)

Z Wikipedii

W matematyce funkcje minimum i maksimum wybierają z argumentów element odpowiednio najmniejszy i największy.

Spis treści

1 Minimum i maksimum dwuargumentowe
2 Minimum i maksimum wieloargumentowe
3 Minimum i maksimum jako działania
4 Zobacz też

[edytuj] Minimum i maksimum dwuargumentowe

Formalnie dla dwóch argumentów są to dwuargumentowe działania, czyli funkcje $\min\colon Y\times Y \longrightarrow Y$ i $\max\colon Y\times Y \longrightarrow Y$ zdefiniowane przez zależności

$\min(x,y)=\left\{\begin{array}{l}y \mbox {, gdy } x \geq y\\x \mbox {, gdy } y \geq x\end{array}\right.$

$\max(x,y)=\left\{\begin{array}{l}x \mbox {, gdy } x \geq y\\y \mbox {, gdy } y \geq x\end{array}\right.$

Dla dwóch liczb rzeczywistych można je też zdefiniować za pomocą wzorów:

$\min(x,y)=\frac{x+y-|x-y|}{2}$

$\max(x,y)=\frac{x+y+|x-y|}{2}$

[edytuj] Minimum i maksimum wieloargumentowe

Dla dowolnego zbioru P z danym częściowym porządkiem minimum i maksimum można zdefiniować jako odpowiednio element najmniejszy lub największy:

$\min(P)=x\Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p\in P}x\leq p$

$\max(P)=x\Leftrightarrow x\in P \and \forall_{p\in P}x\geq p$

Dla skończonych zbiorów, jeśli porządek jest liniowy, minimum i maksimum zawsze istnieje. Dla zbiorów nieskończonych nie zawsze.

Dla skończonego zbioru zachodzi ponadto:

$\min(P)=\inf(P)$

$\max(P)=\sup(P)$

czyli minimum pokrywa się z kresem dolnym zbioru, a maksimum z kresem górnym zbioru. Nie zawsze jest to prawda dla zbiorów nieskończonych, gdzie niekiedy istnieje kres dolny, jednak nie istnieje minimum lub też istnieje kres górny a nie istnieje maksimum.

Minimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem dolnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do minus nieskończoności.

Maksimum z dowolnego skończonego zbioru liczb rzeczywistych jest też kresem górnym zbioru wszystkich średnich z elementów tego zbioru. Jest też granicą ciągu uogólnionych średnich rzędu p dla p dążącego do nieskończoności.

[edytuj] Minimum i maksimum jako działania

Można też traktować minimum i maksimum jako dwa działania algebraiczne. Każde z nich jest wewnętrzne, łączne i przemienne, nie posiada jednak elementu odwrotnego, a często także elementu neutralnego, więc tworzy półgrupę przemienną. Niekiedy istnieje element neutralny - jest to dla minimum największy element dziedziny, a dla maksimum jej najmniejszy element.

Niektóre języki programowania stosują do minimum i maksimum składnię funkcji (np. C, Java), a niektóre składnię operatora działania (np. SAS 4GL).

[edytuj] Zobacz też

Niech się święci 26 lipca!

Kubańczycy świętują 55. rocznicę rewolucji. Były długie przemówienia i akademie ku czci. Wieczorem jednak przyszedł czas na prawdziwą latynoamerykańską fiestę.

38 zabitych w Indiach

Do serii zamachów bombowych doszło w sobotę w Ahmadabadzie na zachodzie Indii. Zginęło łącznie co najmniej 38 osób, 88 odniosło rany. Jak dotąd nikt nie przyznał się do zorganizowania zamachów. Seria zamachów nastąpiła dzień po podobnym zdarzeniu w mieście Bangalore na południu kraju.

Macedonia ma rząd

Pomimo bojkotu obrad przez opozycję, parlament Macedonii zatwierdził w sobotę koalicyjny rząd z premierem Nikołą Grujewskim na czele.

Irlandczycy jeszcze bardziej na NIE

Prawie 3/4 Irlandczyków sprzeciwia się zorganizowaniu nowego referendum w sprawie Traktatu z Lizbony - tak wynika z sondażu, którego rezultaty mają się ukazać w niedzielę.

Polak nadal w rękach nigeryjskich porywaczy

Grupa ośmiu robotników, porwanych w sobotni poranek przez nigeryjskich piratów, została wieczorem uwolniona. 8 innych osób nadal jest przetrzymywanych. W tej grupie jest jeden Polak.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia