Mnożenie - Google

Mnożenie

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Mnożenie jest jednym z czterech podstawowych działań arytmetycznych. Elementy mnożone to czynniki, wynik mnożenia nazywa się iloczynem.

[edytuj] Mnożenie liczb

Najczęściej stosowane jest mnożenie liczb, np. 12\cdot 23=276\;.

[edytuj] Mnożenie pisemne liczb naturalnych

Poniżej podany jest przykład obliczenia na kartce iloczynu liczb 135\; i 18\;. Piszemy drugą liczbę pod pierwszą, a cyfry ustawiamy w kolumnach wyrównując je do prawej; pod drugą liczbą rysujemy linię:

\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & 1 & 3 & 5 \\ \times & \ & \ & 1 & 8\end{matrix} \end{matrix}

Mnożymy ostatnią cyfrę drugiej liczby przez kolejne cyfry pierwszej, pisząc wyniki jeden pod drugim, za każdym razem przesunięte o jedną pozycję w lewo. Następnie bierzemy kolejną cyfrę drugiego czynnika i znowu mnożymy przez kolejne cyfry pierwszego czynnika. Wynik zapisujemy przesunięty o jedną pozycję dalej w lewo niż poprzednim razem. Itd. Otrzymujemy:

\begin{matrix} \underline\begin{matrix} \ & \ & 1 & 3 & 5 & \ & \ \ \ \ \ \ \\ \times & \ & \ & 1 & 8 & \ & \ \end{matrix} \\ \underline\begin{matrix} & \ & \ & 4 & 0 & \ \ \ \scriptstyle{(=5\times 8)}\\ + & \ & 2 & 4 & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=3\times 8)}\\ + & \ & 8 & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=1\times 8)}\\ + & \ & \ & 5 & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=5\times 1)}\\ + & \ & 3 & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=3\times 1)}\\ + & 1 & \ & \ & \ & \ \ \ \scriptstyle{(=1\times 1)} \end{matrix} \\ \begin{matrix} \ & 2 & 4 & 3 & 0 & \ & \ \ \ \ \ \ \end{matrix} \end{matrix}

Po podsumowaniu uzyskujemy wynik mnożenia:

135\cdot 18=2430\;

[edytuj] Mnożenie pisemne liczb całkowitych

Iloczyn dwóch niezerowych liczb jest dodatni, gdy obydwie liczby miały ten sam znak, lub ujemny, jeśli miały różny znak. Jeśli którakolwiek była zerem, wynik również jest zerem.

Chcąc więc pomnożyć dwie liczby całkowite, mnożymy ich wartości bezwzględne, a następnie jeśli czynniki miały różny znak, dopisujemy minus przed wynikiem.

[edytuj] Mnożenie pisemne ułamków dziesiętnych

Najprościej wykonać takie mnożenie tak, jakby nie było przecinków, a następnie, jeśli w jednej z mnożonych liczb po przecinku było a\; cyfr, a w drugiej b,\; cyfr, wstawić w wyniku przecinek a+b\; cyfr od końca.

Przykład:
Chcąc obliczyć 13,5\cdot 1,8\; obliczamy najpierw 135\cdot 18 tak jak we wcześniejszym przykładzie. Uzyskujemy 2430\;.

Zarówno 13,5\; jak i 1,8\; mają po jednej cyfrze po przecinku. Wstawiamy więc przecinek do wyniku 1+1=2\; cyfry od końca. Uzyskujemy: 13,5\cdot 1,8=24,30=24,3\;

[edytuj] Definicja formalna

Zobacz więcej w osobnym artykule: Aksjomaty i konstrukcje liczb.

Działanie mnożenia definiuje się osobno dla każdego rodzaju liczb sprowadzając je za każdym razem do mnożenia i dodawania liczb zdefiniowanych wcześniej:

  • dla dwóch liczb naturalnych a\; i b\; iloczyn zdefiniowany jest jako a\;-krotna suma b\;:
a\cdot b=\sum\limits_{i=1}^a b; tę zasadę można zapisać rekurencyjnie: a\cdot 1=a,\ a\cdot(n+1)=a\cdot n+a;
(a-b)\cdot (c-d)=a\cdot c-a\cdot d-b\cdot c+d\cdot d\;;
\frac{a}{b}\cdot \frac{c}{d}=\frac{ac}{bd}\;;
(a+bi)\cdot (c+di)=(ac-bd)+(ad+bc)i\;.

[edytuj] Własności iloczynu wynikające z własności czynników

Czynnik 1 Czynnik 2 Iloczyn
parzysty całkowity parzysty
całkowity parzysty parzysty
naturalny naturalny naturalny
całkowity całkowity całkowity
całkowity wymierny wymierny
wymierny niewymierny niewymierny (lub równy 0)
algebraiczny algebraiczny algebraiczny
algebraiczny przestępny przestępny (lub równy 0)
rzeczywisty rzeczywisty rzeczywisty
zespolony zespolony zespolony

[edytuj] Oznaczenia

Mnożenie oznacza się na ogół symbolem kropki, np. 2 \cdot 2 = 4\;, czasami w miejsce kropki używa się znaku skośnego krzyżyka: 3 \times 4 = 12\;, zaś w informatyce przyjęło się używanie symbolu gwiazdki: a=b\star c\; (z powodu łatwej osiągalności z klawiatury).

Jeśli nie prowadzi to do nieporozumień, symbol mnożenia w zapisie matematycznym w ogóle się pomija, pisząc w miejsce a \cdot b\; po prostu ab\;.

[edytuj] Iloczyn wielu czynników

W przypadku wielu czynników znak iloczynu można ustalić następująco:

  • jeśli którykolwiek z czynników jest zerem – iloczyn jest równy zeru;
  • jeśli żaden nie jest zerem, i nieparzysta liczba czynników jest ujemna – iloczyn jest ujemny;
  • jeśli żaden nie jest zerem, i parzysta liczba czynników jest ujemna – iloczyn jest dodatni.

Iloczyn zwykle jest rozpatrywany jako działanie dwuargumentowe, można jednak mnożyć też mniej niż dwie liczby:

  • iloczynem zawierającym jeden czynnik x\; jest x\;;
  • iloczynem zawierającym zero składników jest liczba jeden, ponieważ liczba jeden jest elementem neutralnym mnożenia.

Iloczyn a\cdot b\cdot c\; można rozumieć jako (a\cdot b)\cdot c\; lub a\cdot (b\cdot c)\;. Obydwa te wyrażenia są równoważne, gdyż mnożenie liczb jest łączne.

Jeżeli mnożymy wiele czynników wygodnie jest stosować uproszczone zapisy, takie jak wielokropki. Iloczyn liczb naturalnych od 1\; do n\; zwany jest silnią i oznaczany wykrzyknikiem:

n!=1 \cdot 2 \cdot \dots \cdot n.

Gdy rozważa się skomplikowane iloczyny stosuje się także zapis z grecką dużą literą pi: :\prod\limits_{i=1}^n a_i=a_1\cdot a_2\cdot a_3\cdot \dots\cdot a_n czytany "iloczyn czynników postaci a_i\; rozciągnięty na wszystkie wskaźniki i\; od 1\; do n\;".

Notację tę można uogólnić, gdy dany jest dowolny warunek logiczny dotyczący wskaźnika, np.:

  • \prod\limits_{0\le x< 100} f(x) jest iloczynem czynników postaci f(x)\; dla każdego całkowitego x w pewnym przedziale,
  • \prod\limits_{x\in S} f(x) jest iloczynem czynników postaci f(x\;) dla każdego x\in S\; (niekoniecznie całkowitego),

Analogiczne zapisy można stosować przy dodawaniu. Zamiast dużej litery pi, stosowana jest wtedy duża litera sigma: \sum\;

[edytuj] Iloczyn w pierścieniach

Mnożenie liczb zostało uogólnione na struktury algebraiczne zwane pierścieniami i ciałami. Rozpatruje się także mnożenie elementów ciała i przestrzeni liniowej nad tym ciałem. W grupach mnożeniem nazywamy działanie grupowe w zapisie multiplikatywnym.

W tych strukturach mnożenie zwykle jest łączne, i rozdzielne względem dodawania. Nie zawsze jest jednak przemienne, np. mnożenie macierzy i iloczyn wektorowy nie są. Iloczyn wektorowy nie jest nawet łączny; mnożenie nie jest łączne też, np., dla oktaw Cayleya.

[edytuj] Element neutralny

Mnożenie może mieć element neutralny – oznaczany zazwyczaj symbolem 1\; (inne rozpowszechnione oznaczenia: e\;, I\;) i nazywany jedynką mnożenia – czyli element taki, że \forall_a 1 \cdot a = a \cdot 1 = a.

Jeżeli a\; jest elementem zbioru ze zdefiniowanym działaniem mnożenia, to element b\; taki, że a \cdot b = 1, nazywa się elementem odwrotnym i oznacza symbolem a^{-1}\;. W zbiorze, w którym dla każdego niezerowego elementu istnieje element odwrotny, można określić dzielenie (np. w ciele).

[edytuj] Zobacz też


Pięć osób zginęło w eksplozji w stoczni
Pięć osób zginęło, a kilka jest rannych po tym, jak doszło do wybuchu w czasie remontu tankowca w stoczni pod Atenami.
Wielkie sprzątanie po huraganie
Mieszkańcy Meksyku zaczynają wielkie sprzątanie po przejściu huraganu Dolly. Mimo, że tropikalny sztorm opuszcza już powoli meksykański odcinek wybrzeża, ślady po nim zostaną jeszcze długo.
Polityka debiutuje w MTV
Muzyczna telewizja MTV widziała już w swojej historii wiele debiutów, jednak tym razem to coś zupełnie nowego. Temperatura kampanii prezydenckiej w USA spowodowała, że w popularnej telewizji po raz pierwszy pojawiła się polityczna reklama.
Znów strzelanina w amerykańskiej szkole
Mężczyzna o nieznanej dotąd tożsamości otworzył ogień w szkole w amerykańskim stanie Arizona. Kule dosięgły trzech osób, dwie z nich znajdują się w krytycznym stanie.
Rosja zapłaci za tortury
W czwartek w Europejskim Trybunale Praw Człowieka zakończył się proces wytoczony Federacji Rosyjskiej przez torturowanego w więzieniu mężczyznę. 35-latek ma otrzymać 20 tysięcy euro odszkodowania.
Linki: Strona gwna