Struktura matematyczna - Google

Struktura matematyczna

Z Wikipedii

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlatego każdą strukturę M musimy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka L. Mówimy wtedy, że M jest modelem (strukturą) dla języka L.

Często spotyka się rozróżnienie w rozumieniu znaczenia terminów model i struktura matematyczna (system semantyczny). Wówczas termin model jest tożsamy tylko z uniwersum.

[edytuj] Klasyfikacja struktur matematycznych

W teorii struktur wyróżnia się m.in.

struktury algebraiczne, tzn struktury dla języka, w którym mamy tylko symbole funkcji i/albo stałych, a nie relacji. Nie oznacza to brak relacji w modelu, każda funkcja jest bowiem relacją. Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
struktury porządkowe, tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
struktury topologiczne, tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.
struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.

[edytuj] Modele języków pierwszego rzędu

Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ .

Interpretacją (modelem) języka ${\mathcal L}(\tau)$ nazywamy dowolną parę uporządkowaną $\langle U,\Delta$ , gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:

dla dowolnej stałej indywiduowej a_i, ∆(a_i) ∈ U,
dla każdego predykatu n-argumentowego $P\in \tau$ , $Δ(P)$ jest n-członową relacją w zbiorze U,
dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego $F$ , $Δ(F)$ jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.

[edytuj] Własności i zastosowania

Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe (jest to teoria tego modelu). Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).

Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.

[edytuj] Zobacz też

W Europie indeksy giełdowe w górę

W piątek w zachodniej Europie rosną indeksy giełdowe po lepszych od prognoz wynikach kwartalnych podanych przez British Airways Plc - podają maklerzy.

Erste Bank podwyższył cenę docelową Eurocash do 15 zł

Erste Bank podwyższył cenę docelową dla Eurocash o 25 proc., do 15 zł - podała agencja Bloomberg.

ONZ obniża prognozy wzrostu gospodarczego na świecie

Dalsze pogorszenie sytuacji na amerykańskim rynku nieruchomości w pierwszym kwartale wpłynęło na obniżenie przez ONZ prognoz wzrostu gospodarczego na świecie. Globalny wzrost gospodarczy w 2008 r. wyniesie 1,8 proc., wobec szacowanych w styczniu 3,4 proc. - podał Departament Spraw Gospodarczych i Społecznych ONZ.

Goldman Sachs: ropa zdrożeje do 141 dolarów za baryłkę

Analitycy Goldman Sachs podwyższyli w piątek swoje prognozy cen amerykańskiej ropy w II połowie tego roku do 141 USD za baryłkę.

DJ MARKET COMMENT: European Stocks Higher On Construction, BA

European shares moved higher in early trading on Friday, paced by the construction sector, with other standouts including British Airways after it produced solid first-quarter earnings and British Energy after it said that it's still in offer talks.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia