Model Hubbarda - Google

Model Hubbarda

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Model Hubbarda - model w fizyce materii skondensowanej opisujący gaz elektronowy z oddziaływaniem w reprezentacji ciasnego wiązania. Hamiltonian modelu Hubbarda zawiera dwie części:

  • wyraz kinetyczny - opisującą przeskoki elektronów z początkowego węzła sieci (w ogólności) do dowolnego innego (jednak dla uproszczenia obliczeń zakłada się przeskoki do sąsiednich węzłów),
  • wyraz oddziaływania typu kulombowskiego - krótkozasięgowego ze względu na spin (w jednym węźle) - zakłada się występowania oddziaływanie elektron-elektron z charakterystyczną stałą oddziaływania oznaczaną jako U (w ogólności z dowolną wartością U: U<0 przyciąganie, U>0 odpychanie, U=0 brak oddziaływania czyli zwykły gaz fermionów).

Takie połączenie, mimo swojej prostoty, pozwala na zilustrowanie wielu zjawisk z dziedziny silnie skorelowanych fermionów, a w szczególności: przejście metal-izolator, ferromagnetyzm, antyferromagnetyzm, ciecz Luttingera czy nadprzewodnictwo. Niestety "rozwiązywalność" modelu często jest wynikiem dodatkowych założeń, które jednak nie wpływają zbytnio na prawidłowość rozważań.

Model Hubbarda jest intensywnie eksploatowany w teorii silnie skorelowanych fermionów dla różnych parametrów oraz wymiarów. Istnieją liczne rozszerzenia modelu Hubbarda, polegające na uwzględnianiu dodatkowych wyrazów w hamiltonianie modelu (jak np. w modelu Pensona-Kolba-Hubbarda, który uwzględnia również przeskoki par elektronowych).

[edytuj] Hamiltonian Hubbarda

Zgodnie z powyższym najogólniejszy hamiltonian modelu (w przestrzeni położeń) zapisać możemy jako:

\hat H = \sum_{ij\sigma} -t_{ij} \hat c_{j\sigma}^{\dagger} \hat c_{i\sigma} + \sum_i U \hat n_{i\uparrow} \hat n_{i\downarrow}

gdzie tij jest całką przeskoku, ciσ ( c_{i\sigma}^{\dagger} ) oznacza operator anihilacji ( kreacji ) elektronu w węźle i ze spinem σ , natomiast U opisuje oddziaływanie pomiędzy elektronami.

Interpretacja odpowiednich wyrazów w hamiltonianie:

  • wyraz 1 : wyraz kinetyczny - elektron ze spinem σ jest anihilowany w węźle i-tym i kreowanym w węźle j-tym (bez zmiany spinu)
  • wyraz 2 : wyraz oddziaływania - elektrony w danym i-tym węźle ze spinem \uparrow oddziałują z elektronami ze spinem \downarrow w tym samym węźle.

Przykład W przypadku przeskoku elektronów jedynie do sąsiednich węzłów i założeniu izotropowości układu (stała całka przeskoku) otrzymujemy hamiltonian postaci:

\hat H = - t \sum_{<ij>\sigma} \hat c_{j\sigma}^{\dagger} \hat c_{i\sigma} + \sum_i U \hat n_{i\uparrow} \hat n_{i\downarrow}

gdzie sumowanie po < ij > oznacza sumowanie po sąsiednich węzłach sieci. W przestrzeni pędów hamiltonian przyjmuje postać:

\hat H = \sum_{k\sigma} E_{k} \hat n_{k\sigma} + \frac{U}{N} \sum_{klq} \hat c_{k+q \uparrow}^{\dagger} \hat c_{k \uparrow} \hat c_{l-q \downarrow}^{\dagger} \hat c_{l \downarrow}

gdzie N jest liczba węzłów sieci, natomiast Ek jest energią kinetyczną (relacją dyspersyjną) z pędem k, daną jako:

E_{k} = -t \sum_{\delta} \exp ( i k \cdot \delta )

gdzie δ jest odległością między sąsiednimi węzłami sieci. Dla przykładu w sieci kwadratowej relacja ta ma postać:

E_{k} = -t \left( \cos ( a k_{x} ) + \cos ( a k_{y} ) \right)

gdzie a jest stałą sieciową natomiast kx i ky są składowymi pędu w kierunkach x i y.


"Rosjanie! Wycofajcie wojska"
O bezwarunkowe wycofanie wojsk z separatystycznego Naddniestrza zaapelował do Rosji szef dyplomacji Mołdawii Andrei Stratan. - Wycofanie rosyjskich sił wraz z uzbrojeniem powinno być całościowe, bezwarunkowe i odbyć się w sposób przejrzysty - powiedział podczas dorocznego spotkania Organizacji Bezpieczeństwa i Współpracy w Europie (OBWE) w Helsinkach.
Prezydent wpadł w turbulencje
Prezydencki samolot znów dał się Lechowi Kaczyńskiemu we znaki. Po epizodzie z mongolskim mrozem TU-154 M tym razem wpadł w silne turbulencje i dwa razy podchodził do lądowania w Seulu.
Chińczycy: nie kupujcie francuskich produktów
Na forach internetowych aż kipi od złości chińskich nacjonalistów. Protestując przeciwko planowanemu spotkaniu francuskiego prezydenta z Dalajlamą w ten weekend w Gdańsku, nawołują do bojkotowania francuskich produktów.
Patriarcha Moskwy nie żyje
Aleksy II zwierzchnik rosyjskiej Cerkwi prawosławnej od ponad 18 lat zmarł w piątek rano. Nieznane są przyczyny śmierci duchownego.
Cesarz Japonii wraca do zdrowia
Kilkanaście godzin po wylocie prezydenta Lecha Kaczyńskiego z Japonii, cesarz Akihito poczuł się lepiej. Właśnie z powodu zdrowotnych problemów monarchy nie doszło do jego spotkania z polskim prezydentem.
Linki: Strona gwna