Homomorfizm grupowy

Z Wikipedii

Brak wersji przejrzanej

Spis treści

1 Definicja
- 1.1 Jądro i obraz
2 Przykłady
3 Rodzaje
4 Homomorfizm kanoniczny
5 Homomorfizmy grup abelowych
6 Zobacz też

Homomorfizm grupowy – przekształcenie zachowujące strukturę grup, czyli tzw. homomorfizm tych struktur algebraicznych. Z punktu widzenia teorii kategorii jest to element klasy morfizmów kategorii grup $\mathbf{Gr}$ , z tego też względu nazywany jest czasem po prostu morfizmem grup.

W działach matematyki, w których rozpatruje się grupy zaopatrzone w dodatkową strukturę, homomorfizm oznacza czasami nie tylko przekształcenie zachowujące strukturę grupową (jak wspomniano wyżej), ale również tę dodatkową. Przykładowo od homomorfizmów grup topologicznych wymaga się często, aby były ciągłe.

[edytuj] Definicja

Niech $(G, \cdot, e)$ oraz $(H, \circ, \iota)$ będą grupami. Przekształcenie $\varphi\colon G \to H$ nazywa się homomorfizmem grupy $G$ w grupę $H$ , jeżeli

$\forall_{x, y \in G}\; \varphi(x \cdot y) = \varphi(x) \circ \varphi(y)$ .

Ważną własnością homomorfizmów struktur algebraicznych jest zachowywanie elementu neutralnego, tu wynika ona z powyższej definicji i z tego powodu można ją opuścić. Ponieważ

$\varphi(e) = \varphi(e \cdot e) = \varphi(e) \circ \varphi(e)$ ,

a więc po przyłożeniu do obu stron równości elementu odwrotnego do $\varphi(e)$ daje żądaną tożsamość

$\varphi(e) = \iota$ .

Homomorfizm grupy abelowej w grupę multiplikatywną ciała liczb zespolonych nazywa się charakterem grupy.

[edytuj] Jądro i obraz

Jądrem homomorfizmu $\varphi$ nazywa się zbiór

$\ker \varphi = \{x \in G\colon \varphi(x) = \iota\} = \varphi^{-1}(\iota)$ .

Obraz homomorfizmu $\varphi$ to zbiór

$\operatorname{im}\;\varphi = \{y \in H\colon \varphi(x) = y\}$ .

Obraz jest podgrupą grupy $H$ , z kolei jądro homomorfizmu jest podgrupą normalną (a nawet charakterystyczną) w $G$ , dlatego zawsze jest $e \in \ker \varphi$ .

Wiele ważnych podgrup służących do badania struktury grupy jest jądrami pewnych homomorfizmów (twierdzenie o homomorfizmie), np. centralizator i normalizator są jądrami pewnych działań grupy na zbiorze swoich elementów (wspomniane działania również są homomorfizmami).

[edytuj] Przykłady

Niech $(\mathbb R, \cdot, 1)$ będzie grupą liczb rzeczywistych różnych od zera z działaniem mnożenia

Odwzorowanie $|\cdot|\colon \mathbb R \to \mathbb R$ przypisujące każdej liczbie tego zbioru przypisuje jej wartość bezwzględną jest suriektywnym homomorfizmem (epimorfizmem).

Przekształcenie $x \mapsto x^2$ również jest homomorfizmem grupy $\mathbb R$ w siebie.

Jądrem obu tych homomorfizmów jest podgrupa

{ - 1,1}

.

[edytuj] Rodzaje

Zobacz też: monomorfizm, epimorfizm, izomorfizm, endomorfizm, automorfizm.

Monomorfizm (zanurzenie): homomorfizm iniektywny (różnowartościowy).
Epimorfizm: homomorfizm suriektywny („na”).
Izomorfizm: homomorfizm będący jednocześnie epimorfizmem i monomorfizmem, inaczej: wzajemnie jednoznaczny homomorfizm.
Endomorfizm: homomorfizm grupy w siebie.
Automorfizm: endomorfizm będący zarazem izomorfizmem, inaczej: wzajemnie jednoznaczny homomorfizm grupy na siebie.

Homomorfizm jest monomorfizmem wtedy i tylko wtedy, gdy jego jądro jest trywialne. Należy pamiętać, że homomorfizm odwrotny $\varphi^{-1}$ do izomorfizmu $\varphi$ również jest również izomorfizmem. Automorfizmy danej grupy $G$ ze składaniem oraz identycznością tworzą grupę automorfizmów $\operatorname{Aut}\;G$

Jeżeli istnieje izomorfizm między grupami $G$ i $H$ , to nazywa się je izomorficznymi i oznacza $G \simeq H$ . Relacja izomorficzności jest relacją równoważności. Wyróżnia się również tzw. G-izomorficzność zbiorów, która zachodzi, jeśli grupa $G$ działa na tych zbiorach w taki sam sposób.

[edytuj] Homomorfizm kanoniczny

Zobacz więcej w osobnym artykule: grupa ilorazowa.

[edytuj] Homomorfizmy grup abelowych

Jeżeli $G$ oraz $H$ są grupami abelowymi (tzn. przemiennymi), to klasa $\operatorname{Hom}(G, H)$ wszystkich homomorfizmów grupowych z $G$ w $H$ sama jest grupą abelową: suma $h + k$ dwóch homomorfizmów zdefiniowana jest wzorem

(h + k)(u) = h (u) + k (u)

dla wszystkich $u \in G$ .

Udowodnienie, że $h + k$ jest homomorfizmem grup wymaga skorzystania z przemienności w $H$ . Dodawanie homomorfizmów jest zgodne ze złożeniem homomorfizmów w następującym sensie: jeżeli $f$ należy do $\operatorname{Hom}(K, G)$ , $h, k$ są elementami $\operatorname{Hom}(G, H)$ , a $g$ leży w $\operatorname{Hom}(H, L)$ , to

$(h + k) \circ f = (h \circ f) + (k \circ f)$ oraz $g \circ (h + k) = (g \circ h) + (g \circ k)$ .

Wynika stąd, że zbiór $\operatorname{End}\;G$ wszystkich endomorfizmów grup abelowych stanowi pierścień nazywany pierścieniem endomorfizmów grupy $G$ . Przykładowo pierścień endomorfizmów grupy abelowej składającej się z sumy prostej dwóch egzemplarzy $\mathbb Z/2\mathbb Z$ (grupa czwórkowa Kleina) jest izomorficzny z pierścieniem macierzy typu $2 \times 2$ o elementach ze zbioru $\mathbb Z/2\mathbb Z$ . Powyższa zgodność ukazuje również, iż kategoria wszystkich grup abelowych z homomorfizmami grupowymi tworzy kategorię preaddytywną; istnienie sum prostych oraz porządnych jąder czyni tę kategorię prototypowym przykładem kategorii abelowej.

[edytuj] Zobacz też

Eksperymenty ze szkolnej klasy na YouTube

Brytyjska organizacja rządowa Training and Development Agency (TDA) zachęca nauczycieli do umieszczania lekcji nauk przyrodniczych na YouTube.

Polskie tłumaczenie interfejsu Visual Studio

Dzięki współpracy ze studentami Politechniki Wrocławskiej, Microsoft przygotował narzędzie służące do tłumaczenia na język polski elementów interfejsu programu Visual Studio 2008.

Niedługo pierwsza beta Windows 7

Pierwsza beta nowego systemu operacyjnego Microsoftu, Windows 7, dostępna będzie jeszcze przed 13 stycznia 2009 roku – można dowiedzieć się ze strony MSDN Developer Conference.

Święta – logistyczny problem sklepów internetowych

W grudniu prawdopodobnie padnie kolejny rekord sprzedaży przez Internet. I jak co roku pojawi się problem z logistyką. Czy polski e-biznes jest skazany na takie problemy?

Powstanie Pomorska Biblioteka Cyfrowa

Pomorska Biblioteka Cyfrowa – dzieło powołane do życia z inicjatywy Politechniki Gdańskiej – otrzymała dofinansowanie na rozwój działalności.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia