Obiekt (teoria kategorii) - Google

Obiekt (teoria kategorii)

Z Wikipedii

Obiekt – w teorii kategorii nazwa elementu klasy na której określona jest kategoria.

[edytuj] Definicja

Kategoria ${\mathfrak A}$ to trójka $({\mathfrak A}^0,{\rm Mor}^{\mathfrak U}, v^{\mathfrak A})$ w której^[1]:

${\mathfrak A}^0$ jest klasą której elementy nazywamy obiektami,
${\rm Mor}^{\mathfrak U}$ to funkcja która każdej parze obiektów $(A, B)$ przyporządkowuje zbiór ${\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)$ ; elementy tego zbioru nazywamy morfizmami z $A$ do $B$ ,
$v^{\mathfrak A}$ to funkcja która każdej trójce obiektów $(A, B, C)$ przyporządkowuje przekształcenie

$v^{\mathfrak A}_{A,B,C}:{\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)\times {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)\longrightarrow {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,C)$ ;

jeśli $\alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)$ oraz $\beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)$ , to $v^{\mathfrak A}_{A,B,C}(\alpha,\beta)$ nazywane jest złożeniem morfizmów

α

β

i jest też oznaczane przez

βα

Wymaga się też, że dla wszystkich obiektów $A,B,C,D\in {\mathfrak A}$ mamy:

jeśli $(A',B')\neq (A,B)$ , to ${\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B)\cap {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A',B')=\emptyset$ ,
jeśli $\alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B),\ \beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,C)$ oraz $\gamma\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(C,D)$ , to

γ(βα) = (γβ)α

istnieje morfizm $i_A\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,A)$ taki, że każdego obiektu $B\in {\mathfrak A}^0$ mamy

$(\forall \alpha\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(A,B))(i_B\alpha=\alpha)$ oraz $(\forall \beta\in {\rm Mor}^{\mathfrak A}(B,A))(\beta i_B=\beta)$ .

[edytuj] Przykłady

W kategorii Set wszystkich zbiorów obiektami są zbiory a morfizmami są funkcje pomiędzy nimi.
W kategorii Gr wszystkich grup obiektami są grupy a morfizmami są homomorfizmy między grupami.
W kategorii Ab obiektami są grupy abelowe a morfizmami są homomorfizmy.
W kategorii Vect_K obiektami są przestrzenie wektorowe nad ciałem K a morfizmami są odwzorowania K-liniowymi.
W kategorii Metr obiektami są przestrzenie metryczne a morfizmami są odwzorowania nierozszerzające.
W kategorii Top obiektami są przestrzenie topologiczne a morfizmami są przekształcenia ciągłe pomiędzy tymi przestrzeniami.

Przypisy

↑ Zbigniew Semadeni, Antoni Wiweger: Wstęp do teorii kategorii i funktorów. Wyd. 2. Warszawa: Państwowe Wydawnictwo Naukowe, 1978, ss. 16nn, seria: Biblioteka Matematyczna. Tom 45.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Skatowane przez rodziców niemowlę zmarło

Zmarł skatowany przez rodziców sześciomiesięczny chłopiec. Dziecko kilka dni temu trafiło do szczecińskeigo szpitala - poinformowała telewizja TVN24.

"Mam nadzieję, że TVP nie ma złych zamiarów"

Marszałek Sejmu Bronisław Komorowski, odnosząc się do braku transmisji z obrad komisji śledczej badającej okoliczności śmierci Barbary Blidy, wyraził nadzieję, że TVP nie idzie na wojnę z Sejmem.

Dorn: Ziobro dał się wprowadzić w błąd

- Pan Ziorbo działał pod wpływem argumentacji pana Kaczmarka. Działał z pełną wiarą i dobrą wolą. Dał się wprowadzić w błąd - powiedział w RMF FM Ludwik Dorn - polityk Prawa i Sprawiedliwości.

Tropik w Polsce - wakacje burzowe i gorące

"Fakt": Wygląda na to, że w pierwszym miesiącu wakacji pogoda będzie jak w Afryce w czasie pory deszczowej. Temperatura ma być stosunkowo wysoka, ale towarzyszyć jej będą deszcze i gwałtowne burze - informuje dziennik.

Dziewięć osób rannych w wypadku busa

Dziewięć osób zostało rannych w wypadku busa, do którego doszło w nocy na drodze krajowej nr 1 (Łódź-Gdańsk) koło Łęczycy (Łódzkie) - poinformowały straż pożarna i policja.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Obiekt (teoria kategorii)

Z Wikipedii

[edytuj] Definicja

[edytuj] Przykłady

Przypisy