Przekształcenie liniowe

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Uwaga
- 1.2 Oznaczenia
2 Przestrzenie przekształceń
3 Rodzaje
4 Przykłady
5 Zobacz też

Ten artykuł dotyczy funkcji rozpatrywanej w algebrze liniowej oraz w analizie funkcjonalnej. Zobacz też: funkcja liniowa.

Przekształcenie (odwzorowanie) liniowe – funkcja addytywna i jednorodna (pierwszego stopnia) określona między przestrzeniami liniowymi.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $U\,$ i $V\,$ będą przestrzeniami liniowymi nad ciałem $K\,$ . Przekształcenie $A\colon U \to V\,$ nazywamy liniowym, gdy jest ono homomorfizmem przestrzeni $U\,$ w przestrzeń $V\,$ , czyli:

$\forall_{x,y\in U}\; A(x+y) = A(x)+A(y)\,$ (addytywność),
$\forall_{c\in K}\; \forall_{x\in U}\; A(cx)=cA(x)\,$ (jednorodność).

[edytuj] Uwaga

Warunkom 1. i 2. równoważny jest warunek:

$\forall_{x,y \in U}\; \forall_{c_1, c_2 \in K}\; A(c_1 x + c_2 y) = c_1 A(x) + c_2 A(y)\,$ .

[edytuj] Oznaczenia

Przekształcenia liniowe oznacza się z reguły dużymi literami, zaś ich argumenty (o ile nie wprowadza to niejasności) zapisuje się bez nawiasów:

$Ax \equiv A(x)\,$ .

Zbiór wszystkich przekszatałceń liniowych przestrzeni liniowych $U\,$ i $V\,$ oznaczamy symbolem $\operatorname{Hom}(U,V)\,$ . Czasem stosuje się także oznaczenie $\mathcal{L}(U,V)\,$ , jednak istnieją pewne rozbieżności co do interpretacji tego symbolu: w analizie funkcjonalnej, przez $\mathcal{L}(U,V)\,$ rozumie się zbiór wszystkich liniowych i ciągłych przekształceń przestrzeni $U,V\,$ . Jeśli $U,V\,$ są przestrzeniami skończenie wymiarowymi, to wszystkie przekształcenia liniowe między nimi są ciągłe.

[edytuj] Przestrzenie przekształceń

Zbiór $\operatorname{Hom}(U,V)\,$ z określonymi, jak niżej, działaniami dodawania funkcji i mnożenia funkcji przez skalary, tworzy przestrzeń liniową.

$(A+B)x = Ax + Bx\,$
$(cA)x = c \cdot Ax\,$

dla wszystkich $A, B \in \operatorname{Hom}(U,V),\; c \in K,\; x \in U\,$ .

$\dim \mbox{Hom}(U,V) = \dim U \cdot \dim V\,$ .

W szczególności, jeśli $\dim U = m,\; \dim V = n\,$ , to przestrzeń $\operatorname{Hom}(U,V) \cong K^n_m\,$ przekształceń liniowych przestrzeni skończenie wymiarowych jest izomorficzna z przestrzenią macierzy o odpowiednim wymiarze. Konsekwencją tego faktu jest, iż przekształcenie liniowe $A\,$ między skończenie wymiarowymi przestrzeniami liniowymi reprezentowane jest przez macierz $A\in K^n_m\,$ . Macierz tę nazywamy macierzą przekształcenia liniowego odpowiadającego $A\,$ . Jej postać zależy od wyboru baz przestrzeni $U\,$ i $V\,$ . Działanie przekształcenia liniowego na wektor można przedstawić jako mnożenie macierzy tego przekształcenia przez kolumnę (stojącą po prawej stronie) utworzoną ze współrzędnych tego wektora w danej bazie.

Niezmiennikami przekształceń liniowych ze względu na zmianę baz są: nieosobliwość i rząd macierzy.

[edytuj] Rodzaje

Różnowartościowe przekształcenie liniowe nazywa się często nieosobliwym. W szczególnym przypadku, gdy $A\in \operatorname{Hom}(U,V)$ reprezentowane jest przez macierz, to przekształcenie jest nieosobliwe wtedy i tylko wtedy, gdy $\det A \ne 0$ (niezależnie od wyboru baz przestrzeni).
Gdy $U\,$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K\,$ , to przekształcenie liniowe $F\colon U \to K$ nazywamy funkcjonałem liniowym.
Przekształcenie liniowe $L\colon U \to U$ nazywa się zwyczajowo operatorem (liniowym) lub endomorfizmem (liniowym), jeśli przekształcenie jest wzajemnie jednoznaczne, to nosi on nazwę automorfizmu (liniowego). Słowo "operator" używa się i bardziej szeroko - jako synonim słowa "przekształcenie". Operatory liniowe w przestrzeniach nieskończeniewymiarowych są przedmiotem badań analizy funkcjonalnej. Przykładem takiego operatora jest pochodna funkcji.
Załóżmy, że przestrzenie liniowa $V,\ U$ są przestrzeniami unormowanymi. Operator $F\colon V\ni v\mapsto Fx\in U$ nazywamy ograniczonym, jeżeli istnieje taka stała $M>0\,$ , że

dla dowolnego wektora $v\in V\,$ zachodzi nierówność:

$\|Fv\|_U\leq M\|v\|_V$

Operator liniowy jest ograniczonym wtedy i tylko wtedy, gdy jest ciągłym.

[edytuj] Przykłady

Jeśli $U\,$ jest przestrzenią liniową, to przekształcenie $\operatorname{id}\colon U \to U\,$ , dane wzorem $\operatorname{id}(x) = x\,$ jest liniowe. Por. funkcja tożsamościowa.
Funkcja liniowa postaci $f(x) = ax,\; a \in \mathbb R\,$ . Zob. homotetia.
Niech $C([a,b])\,$ oznacza przestrzeń funkcji ciągłych, określonych na przedziale $[a,b]\,$ . Odwzorowanie $I\colon C([a,b]) \to \mathbb R\,$ , dane wzorem

$I(f) = \int\limits_a^b~f(x)d x\,$ jest przekształceniem liniowym.

[edytuj] Zobacz też

przekształcenie afiniczne,
przekształcenie dwuliniowe,
jądro przekształcenia liniowego,
obraz przekształcenia liniowego,
macierz przekształcenia liniowego,
homomorfizm,
przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Easyjet redukuje potencjał operacyjny

Linie Easyjet zapowiedziały zmniejszenie liczby lotów w sezonie zimowym 2008-09 o 12 proc. na podlondyńskim lotnisku Stansted.

Straty drobiarzy z powodu ptasiej grypy wynoszą ponad 19 mln zł

Komisja Europejska rozpatruje wniosek Polski o udzielenie pomocy hodowcom drobiu, którzy ponieśli straty w 2007 r. w wyniku ptasiej grypy. Wnioskowana pomoc - to 19 mln 153 zł - poinformował w Sejmie wiceminister rolnictwa Kazimierz Plocke.

DJ MARKET COMMENT: European Stocks Mixed; Commodity Firms Fall

Europe stocks struggled to push higher on Thursday, with updates from Swiss bank Credit Suisse Group, French automaker Renault and British retailer Kingfisher prompting rallies from those previously out-of-favor firms, but the oil and metals sector facing selling pressure amid a week-long retreat from commodities.

ATM oczekuje 1,5 mln USD z umowy z operatorem telekomunikacyjnym

ATM zakończył realizację pierwszego etapu dostawy infrastruktury sieciowej dla jednego z największych ogólnopolskich operatorów usług telekomunikacyjnych.

AerFinance planuje debiut na NewConnect w IV kw. '08

Brytyjska spółka holdingowa AerFinance PLC, notowana na giełdzie we Frankfurcie, chce przeprowadzić prywatną ofertę o wartości 1,5-2 mln zł w Polsce i w IV kw. zadebiutować na NewConnect - podała spółka w komunikacie.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia