Pełna grupa liniowa

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Przestrzenie liniowe
- 1.2 Wyznaczniki
2 Specjalna grupa liniowa
- 2.1 Uwagi
3 Rozmaitość algebraiczna
4 Ciała skończone
- 4.1 Rząd grupy
5 Inne podgrupy
- 5.1 Podgrupy diagonalne
- 5.2 Grupy klasyczne
6 Własności
7 Podobne grupy
- 7.1 Projektywna grupa liniowa
- 7.2 Grupa afiniczna
8 Zobacz też

Pełna grupa liniowa (ogólna grupa liniowa) – grupa wszystkich odwracalnych (czyli grupa multiplikatywna pierścienia) macierzy kwadratowych ustalonego stopnia nad danym pierścieniem.

[edytuj] Definicja formalna

Pełną grupą liniową nazywamy uporządkowaną czwórkę $\left(U_n(R), \cdot, {}^{-1}, I\right)$ oznaczaną $\operatorname{GL}(n, R)$ , gdzie:

$R$ jest pierścieniem łącznym z jedynką,
$U_n(R)= \{A\ \in R_n^n\colon A\mbox{ jest odwracalna}\}$ ,
działaniem grupowym mnożenie macierzy,
operacją brania elementu odwrotnego odwracanie macierzy, zaś
elementem neutralnym macierz jednostkowa.

Dowolną podgrupę pełnej grupy liniowej nazywa się po prostu grupą liniową. Z punktu widzenia teorii kategorii operator $\operatorname{GL}(n, \cdot)$ jest funktorem z kategorii pierścieni w kategorię grup.

[edytuj] Przestrzenie liniowe

Jeżeli $V$ jest przestrzenią liniową nad ciałem $K$ , wówczas pełną grupą liniową przestrzeni liniowej oznaczaną przez $\operatorname{GL}(V)$ lub $\operatorname{Aut}(V)$ nazywamy grupę wszystkich automorfizmów $V$ , tzn. zbiór wszystkich wzajemnie jednoznacznych przekształceń liniowych $V \to V$ ze składaniem funkcji jako działaniem grupowym.

Jeżeli przestrzeń $V$ ma skończony wymiar $\dim V = n$ , to $\operatorname{GL}(V)$ oraz $\operatorname{GL}(n, K)$ są izomorficzne. Jednakże izomorfizm nie jest kanoniczny, gdyż zależy od wyboru bazy w $V$ . Jeżeli $(e_1, \dots, e_n)$ jest bazą uporządkowaną $V$ , zaś $T$ automorfizmem $\operatorname{GL}(V)$ , to mamy

$Te_k = \sum_{j=1}^n a_{jk} e_j$

dla pewnych stałych $a_{jk} \in K$ . Macierz odpowiadająca $T$ składa się po prostu z wyrazów $a j k$ .

Podobnie grupa $\operatorname{GL}(n, R)$ pierścienia $R$ może być interpretowana jako grupa automorfizmów wolnego $R$ -modułu o randze $n$ .

[edytuj] Wyznaczniki

Macierz jest odwracalna nad ciałem $K$ wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest różny od zera. Stąd $\operatorname{GL}(n, K)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o niezerowym wyznaczniku.

Definicja dla pierścienia przemiennego $R$ jest nieco subtelniejsza: macierz nad $R$ jest odwracalna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wyznacznik jest elementem odwracalnym w $R$ , tzn. jej wyznacznik jest odwracalny w $R$ . Stąd $\operatorname{GL}(n, R)$ może być zdefiniowana jako grupa macierzy o wyznacznikach będących elementami odwracalnymi.

Rozważanie wyznaczników nad nieprzemiennym pierścieniem $R$ nie ma sensu. W tym przypadku grupa $\operatorname{GL}(n, R)$ może być zdefiniowana jako grupa elementów odwracalnych $M (n, R)$ .

[edytuj] Specjalna grupa liniowa

Specjalną grupą liniową stopnia $n$ nad ciałem $K$ nazywamy grupę liniową zawierającą wszystkie macierze kwadratowe stopnia $n$ o elementach z ciała $K$ , których wyznacznik jest równy jedności. Specjalną grupę liniową oznacza się przez $\operatorname{SL}(n, K)$ .

[edytuj] Uwagi

Macierze te tworzą grupę, gdyż wyznacznik iloczynu dwóch macierzy jest równy iloczynowi ich wyznaczników, zatem jest ona zamknięta ze względu na to działanie.
Jeżeli $K = \mathbb R$ lub $K = \mathbb C$ (ogólnie $K$ jest ciałem lokalnym), to $\operatorname{SL}(n)$ jest podgrupą Liego grupy $\operatorname{GL}(n)$ wymiaru $n 2 - 1$ . Algebra Liego $\mathfrak{sl}(n)$ składa się ze wszystkich macierzy $K^n_n$ ze znikającym śladem. Nawias Liego jest dany przez jej komutator.
Specjalna grupa liniowa $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$ może być scharakteryzowana jako grupa przekształceń liniowych $\mathbb R^n$ zachowujących objętość i orientację.

[edytuj] Rozmaitość algebraiczna

Ta sekcja jest zalążkiem. Jeśli możesz, rozbuduj ją.

$\operatorname{GL}(n, K)$ może być rozważana jako otwarta podrozmaitość przestrzeni afinicznej wymiaru $n 2$ nad $K$ .

[edytuj] Ciała skończone

Jeżeli $K$ jest ciałem skończonym o $q$ elementach, to zamiast $\operatorname{GL}(n, K)$ piszemy czasami $\operatorname{GL}(n, q)$ . Jeżeli $p$ jest liczbą pierwszą, to $\operatorname{GL}(n, p)$ jest grupą automorfizmów zewnętrznych grupy $\mathbb Z_p^n$ , a zarazem grupą automorfizmów, ponieważ $\mathbb{Z}_p^n$ jest abelowa, zatem grupa automorfizmów wewnętrznych jest trywialna.

[edytuj] Rząd grupy

Rząd grupy $\operatorname{GL}(n, K)$ wynosi

$|\operatorname{GL}(n, K)| = \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$ .

Można udowodnić ten fakt poprzez zliczanie możliwych kolumn macierzy: pierwsza może być dowolną poza wektorem zerowym, druga – dowolną z wyjątkiem wielokrotności pierwszej, wreszcie $k$ -ta kolumna może być dowolnym wektorem spoza powłoki liniowej pierwszych $k - 1$ kolumn.

Przykładowo $\operatorname{GL}(3, 2)$ ma rząd równy $(8 - 1)(8 - 2)(8 - 4) = 168$ . Jest to grupa automorfizmów płaszczyzny Fano oraz grupy $\mathbb{Z}_2^3$ .

Ogólniej, można policzyć punkty grassmannianianu nad $K$ , innymi słowy: liczbę podprzestrzeni danego wymiaru $k$ . Wymaga to jedynie znalezienia rzędu podgrupy izotropii jednej z takiej podprzestrzeni oraz podzielenia powyższego wzoru na podstawie twierdzenia o stabilizatorze.

Związek między tymi wzorami a liczbami Bettiego grassmannianów zespolonych, był jednym z tropów prowadzących do hipotezy Weila.

Analogiczny wzór dla $\operatorname{SL}(n, K)$ to

$|\operatorname{SL}(n, K)| = {1 \over q-1} \prod_{i=0}^{n-1}~(q^n - q^i)$ .

[edytuj] Inne podgrupy

[edytuj] Podgrupy diagonalne

Zbiór wszystkich odwracalnych macierzy diagonalnych tworzy podgrupę $\operatorname{GL}(n, K)$ , nazywaną podgrupą diagonalną, izomorficzną z $\left(K^*\right)^n$ . W ciałach takich jak $\mathbb R$ , czy $\mathbb C$ odpowiada ona skalowaniu przestrzeni; są to tzw. dylatacje i kontrakcje.

Macierz skalarna to macierz będąca iloczynem stałej oraz macierzy jednostkowej.

[edytuj] Grupy klasyczne

Tak zwane grupy klasyczne są podgrupami $\operatorname{GL}(V)$ zachowującymi pewien rodzaj formy dwuliniowej w przestrzeni liniowej $V$ . Są to między innymi

grupa ortogonalna, $\operatorname{O}(V)$ , zachowująca niezdegenerowaną symetryczną formę dwuliniową na $V$ ,
grupa symplektyczna, $\operatorname{Sp}(V)$ , zachowująca formę symplektyczną na $V$ (niezdegenerowaną antysymetryczną formę dwuliniową),
grupa unitarna, $\operatorname{U}(V)$ , zachowująca niezdegenerowaną formę hermitowską na $V$ , o ile $K = \mathbb C$ .

Grupy te są ważnymi przykładami grup Liego.

[edytuj] Własności

Jeśli $n > 2$ , to $\operatorname{GL}(n, K)$ nie jest abelowa.
$\operatorname{SL}(n, K)$ jest podgrupą normalną $\operatorname{GL}(n, K)$ .
Niech $K *$ będzie grupą multiplikatywną (złożoną z wszystkich elementów $K$ różnych od zera) ciała $K$ , wówczas wyznacznik jest homomorfizmem grup:

$\det\colon \operatorname{GL}(n, K) \to K^*$ .
Z definicji jądra wynika, że jądrem $det$ jest zbiór macierzy o wyznaczniku równym jedności, zatem $\ker \det = \operatorname{SL}(n, K)$ .
Więcej, $\operatorname{GL}(n, K)$ jest produktem półprostym $\operatorname{SL}(n, K) \rtimes K^*$ .
Grupa $\operatorname{SL}(n, \mathbb C)$ , w przeciwieństwie do $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$ , jest jednospójna. Dodatkowo $\operatorname{SL}(n, \mathbb R)$ ma tę samą grupę podstawową co grupa addytywna $\operatorname{GL}^+(n, \mathbb R)$ , czyli $\mathbb Z$ dla $n = 2$ oraz $\mathbb Z_2$ dla $n > 2$ .
Zbiór wszystkich niezerowych macierzy skalarnych jest podgrupą $\operatorname{GL}(n, K)$ izomorficzną z $K *$ .
Grupa skalarna stanowi centrum $\operatorname{GL}(n, K)$ , zatem jest ona normalna i przemienna.
Centrum $\operatorname{SL}(n, K)$ to po prostu zbiór wszystkich macierzy z wyznacznikiem jednostkowym, podgrupa ta jest izomorficzna z grupą pierwiastków z jedynki $n$ -tego stopnia w ciele $K$ .

[edytuj] Podobne grupy

[edytuj] Projektywna grupa liniowa

Projektywna grupa liniowa $\operatorname{PGL}(n, K)$ oraz specjalna projektywna grupa liniowa $\operatorname{PSL}(n, K)$ są grupami ilorazowymi $\operatorname{GL}(n, K)$ oraz $\operatorname{SL}(n, K)$ przez ich centra (które składają się z pewnych wielokrotności macierzy jednostkowej).

[edytuj] Grupa afiniczna

Grupa afiniczna $\operatorname{Aff}(n, K)$ jest rozszerzeniem $\operatorname{GL}(n, F)$ o grupę przesunięć w $K n$ . Zapisuje się ją jako produkt półprosty:

$\operatorname{Aff}(n, K) = \operatorname{GL}(n, K) \ltimes K^n$ ,

gdzie $\operatorname{GL}(n, K)$ działa na $K n$ w naturalny sposób. Grupa afiniczna może też być postrzegana jako grupa wszystkich przekształceń afinicznych przestrzeni afinicznej nad przestrzenią liniową $K n$ .

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Soczewki kontaktowe z elektroniką

Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".

Groźny detoks

Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.

Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy

90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Odkryto "pogromcę plemników"

Mężczyźni, którzy codziennie spożywają produkty sojowe produkują mniej plemników, niż mężczyźni, którzy nie jedzą ich wcale - informuje pismo "Human Reproduction".

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia