Pi

Z Wikipedii

Ten artykuł dotyczy liczby. Zobacz też: inne znaczenia tego słowa.

Spis treści

1 Niewymierność i przestępność liczby π
- 1.1 Dowód niewymierności π
2 Często występujące przekształcenia π
3 Najpopularniejsze aproksymacje wartości π
4 Historia obliczeń wartości π
5 Wzory do obliczania liczby π
6 Kultura π
7 Znak π
- 7.1 Porzucone oznaczenia
8 Niektóre wzory zawierające
9 Zobacz też
10 Przypisy
11 Linki zewnętrzne

Liczba π (czytaj: liczba pi), ludolfina^[1] - stała matematyczna, która pojawia się w wielu dziedzinach matematyki i fizyki. W geometrii euklidesowej π jest równe stosunkowi długości obwodu koła do długości jego średnicy. Można też zdefiniować π na inne sposoby, na przykład jako pole koła o promieniu równym 1 albo jako najmniejszą dodatnia wartość x, dla której $sin(x) = 0$ .

Liczba π z dokładnością 1000 miejsc po przecinku:
3,14159 26535 89793 23846 26433 83279 50288 41971 69399 37510

58209 74944 59230 78164 06286 20899 86280 34825 34211 70679

82148 08651 32823 06647 09384 46095 50582 23172 53594 08128

48111 74502 84102 70193 85211 05559 64462 29489 54930 38196

44288 10975 66593 34461 28475 64823 37867 83165 27120 19091

45648 56692 34603 48610 45432 66482 13393 60726 02491 41273

72458 70066 06315 58817 48815 20920 96282 92540 91715 36436

78925 90360 01133 05305 48820 46652 13841 46951 94151 16094

33057 27036 57595 91953 09218 61173 81932 61179 31051 18548

07446 23799 62749 56735 18857 52724 89122 79381 83011 94912

98336 73362 44065 66430 86021 39494 63952 24737 19070 21798

60943 70277 05392 17176 29317 67523 84674 81846 76694 05132

00056 81271 45263 56082 77857 71342 75778 96091 73637 17872

14684 40901 22495 34301 46549 58537 10507 92279 68925 89235

42019 95611 21290 21960 86403 44181 59813 62977 47713 09960

51870 72113 49999 99837 29780 49951 05973 17328 16096 31859

50244 59455 34690 83026 42522 30825 33446 85035 26193 11881

71010 00313 78387 52886 58753 32083 81420 61717 76691 47303

59825 34904 28755 46873 11595 62863 88235 37875 93751 95778

18577 80532 17122 68066 13001 92787 66111 95909 21642 01989 ...

Symbol π wprowadził w 1706 roku William Jones w książce Synopsis Palmariorum Mathesos (π jest pierwszą literą greckiego słowa περίμετρον - perimetron, czyli obwód) a rozpowszechnił go później Leonhard Euler. Liczba π jest znana także jako stała Archimedesa lub ludolfina – tak została nazwana na cześć Ludolpha van Ceulena (obaj obliczyli przybliżone wartości π).

Jeśli średnica koła = 1, jego obwód wynosi π

[edytuj] Niewymierność i przestępność liczby π

Liczba π jest liczbą niewymierną, co oznacza, że nie może być zapisana jako iloraz dwóch liczb całkowitych. Udowodnił to w roku 1761 Johann Heinrich Lambert. Co więcej, jest ona liczbą przestępną, co w 1882 roku wykazał Ferdinand Lindemann. Oznacza to, że nie istnieje wielomian o współczynnikach całkowitych, którego π jest pierwiastkiem. W rezultacie nie jest możliwe zapisanie π za pomocą skończonego zapisu złożonego z liczb całkowitych, działań arytmetycznych, ułamków oraz potęg i pierwiastków.

Przybliżona konstrukcja Kochańskiego

To ostatecznie rozstrzyga, że niemożliwa jest klasyczna konstrukcja (wyłącznie przy pomocy linijki i cyrkla) kwadratu o powierzchni równej powierzchni danego koła, gdyż współrzędne wszystkich punktów, które mogą być skonstruowane w taki sposób, należą do zbioru liczb nazywanych liczbami algebraicznymi. Problem ten zwany jest kwadraturą koła i choć nie ma on ścisłego rozwiązanie to istnieją konstrukcje przybliżone. Powiązanym, również niemożliwym do rozwiązania problemem, jest problem rektyfikacji okręgu, do którego również istnieją konstrukcje przybliżone, z których za jedną z najprostszych uchodzi konstrukcja Adama Adamandego Kochańskiego.

[edytuj] Dowód niewymierności π

Dowód przez sprowadzenie do sprzeczności.

Zakładamy, że $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ gdzie $\,{{p,q}\in \mathbb{Z}, {q}\neq{0}}$ .

Ustalamy ciąg $c_n = \frac{q^n}{n!}\int\limits_{0}^{\ \pi}{(x({\pi}-x))^{n}\sin{(x)}dx}$

Można wykazać, że:

$\quad \lim_{{n}\rightarrow{\infty}} c_n=0$
$\quad \forall_{n \in N} \; c_n>0$
$\quad \forall_{n \in N} \; {c_n}\in \mathbb{Z}$

Oznaczać to będzie, że przyjęte założenie $\,{\pi} = \frac{p}{q}$ prowadzi do sprzeczności, gdyż ciąg liczb całkowitych dodatnich nie może być zbieżny do liczby 0.

[edytuj] Często występujące przekształcenia π

$\pi^{2}= 9{,}869\,604\,401\,089\,358\,618\,834\,490\,999\,876\,2\ldots\quad$

$\pi^{3}= 31{,}006\,276\,680\,299\,820\,175\,476\,315\,067\,101\ldots\quad$

$\sqrt{\pi}=1{,}772\,453\,850\,905\,516\,027\,298\,167\,483\,341\,1\ldots\quad$

[edytuj] Najpopularniejsze aproksymacje wartości π

Liczne wzory pozwalające wyliczać π z dowolną dokładnością podane są na końcu artykułu. W praktyce posługujemy się przybliżonymi wartościami 3,14 lub 22/7, rzadko kiedy trzeba korzystać z przybliżeń dokładniejszych: 3,1416 lub 3,14159 albo w postaci ułamka zwykłego 355/113 lub 52163/16604 (dwa ostatnie ułamki są równe π z dokładnością do 6 miejsc po przecinku).

[edytuj] Historia obliczeń wartości π

Metoda aproksymacji liczby π zaproponowana przez Archimedesa

Z liczbą π, jakkolwiek pojawia się ona w wielu wzorach z różnych dziedzin (włączając w to nawet fizykę kwantową), ludzie zetknęli się już w starożytności, zauważając, że stosunek obwodu koła do jego średnicy jest wartością stałą. Babilończycy przyjmowali, że jest on równy w przybliżeniu 3.

Pierwsze źródła świadczące o świadomym korzystaniu z własności liczby π pochodzą ze starożytnego Babilonu. Na jednej z kamiennych tablic, datowanej na lata 1900-1680 p.n.e. pojawia się opis wartości obwodu koła o średnicy 1, przybliżony przez wartość 3,125.

Na pochodzącym sprzed 1650 r. p.n.e. egipskim papirusie Rhinda, autorstwa skryby (według niektórych źródeł tylko kopisty oryginału) króla Ahmesa zatytułowanym Wprowadzenie do wiedzy o wszystkich istniejących rzeczach można znaleźć rozwiązania zadań matematycznych zawierające m.in. odniesienia do wartości liczby π, przybliżanej wartością $\frac {4^4}{3^4} = 3{,}1604\cdots$ .

Podejście starożytnych uczonych do matematyki, w szczególności do liczby π było ściśle użytkowe, nie stosowano właściwie żadnej abstrakcji, a reguły matematyczne opisywane były prostymi przykładami użytkowymi, niezbędnymi w architekturze czy księgowości.

W Biblijnej Drugiej Księdze Kronik (Biblia Tysiąclecia, rozdział 4, werset 2) pochodzące z V - IV w. p.n.e. można znaleźć słowa:

Następnie sporządził odlew okrągłego "morza" o średnicy dziesięciu łokci, o wysokości pięciu łokci i o obwodzie trzydziestu łokci.

Z opisu tego wynika, iż wykonawca owego "morza" przyjął oszacowanie $\! \pi =3$ .

Archimedes, będący prawdopodobnie pierwszym matematykiem badającym dokładniej własności liczby π w III w. p.n.e. oszacował ją z dokładnością do dwóch miejsc po przecinku. Użył do tego metody bazującej na zależnościach geometrycznych, metody pozwalającą oszacowywać π z (teoretycznie) dowolną dokładnością, przez następne wieki była metodą najlepszą, często niezależnie od prac Archimedesa wykorzystywaną przez późniejszych matematyków. Wynikiem jego pracy było podanie przedziału, w jakim mieści się liczba π: $\! \pi \in ( 3 \frac {10}{71} ;3 \frac {1}{7})$ .

Liu Hui, chiński matematyk żyjący w III wieku naszej ery, metodą Archimedesa dla wieloboków o 3072 bokach ustalił przybliżoną wartość liczby π na 3,1415.

Zu Chongzhi, chiński cesarski astronom około 500 roku n.e. podał dwa przybliżenia liczby π - wcześniejsze - $\pi \approx \frac{22}{7}$ , oraz późniejsze, wynoszące $\frac {355}{113}$ , które do XV wieku było najlepszym znanym ludzkości przybliżeniem wartości liczby π (na szczególną uwagę zasługuje łatwość jego zapamiętania: 11-33-55). Wartości te zanotowano w pochodzących z tego okresu kronikach dworskich. Użył on metody Archimedesa, lecz najprawdopodobniej nie miał dostępu do jego prac.

Brahmagupta, hinduski matematyk, sto lat później (około 600 r.n.e.), podał inne przybliżenie wartości π - $\sqrt{10} \approx 3{,}162\cdots$ , stosując własności 12,24,48 i 96-boków, których długości obwodów wynosiły odpowiednio $\sqrt{9{,}56} , \sqrt{9{,}81} ,\sqrt{9{,}86}, \sqrt{9{,}87}$ . W rzeczywistości $\! \pi ^2 \approx 9{,}8696$

W 1400 roku hinduski matematyk Madhava jako pierwszy w historii do obliczenia wartości π użył ciągów nieskończonych. W istocie odkrył on wzór, do którego Leibniz i Gregory (autorstwo przypisuje się obu) doszli w 1674. Natomiast pierwszym z Europejczyków, który użył metody aproksymacji π przy pomocy ciągów nieskończonych był John Wallis, który w 1656 roku w dziele Arithmetica infinitorum podał bardzo zgrabny - aczkolwiek niezbyt użyteczny - wzór na π. Od tego czasu, do obliczania wartości π, zaczęto używać ciągów nieskończonych - zazwyczaj przy pomocy rozwinięcia funkcji arcus sinus lub arcus tangens w szereg potęgowy. Mimo to w 1596 roku Ludolph van Ceulen podał przybliżenie π z dokładnością do 35. miejsca po przecinku, używając do tego metody Archimedesa. Obliczenia prowadził przez całe życie.

Ludolph van Ceulen stosując metodę Archimedesa oblicza wartość π z dokładnością do 20 miejsc po przecinku, publikując wynik w dziele Van den Circkel (1596). Według biografów Ceulen większość swojego życia poświęcił próbom coraz lepszego przybliżenia π, zwanej niekiedy od jego imienia Ludolfiną, pod koniec życia podając π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku (użył do tego wieloboku o $262$ bokach!) - wartość ta została wyryta na jego płycie nagrobkowej.

Z biegiem lat uzyskiwano coraz lepsze przybliżenia wartości π sięgające kilkuset miejsc po przecinku (Rutherford w 1853 roku - 440 miejsc po przecinku; Shanks w 1874 roku - 527 miejsc po przecinku). W 1946 roku Ferguson podał wartość π do 620. miejsca po przecinku. W końcowych obliczeniach wspomagał się już kalkulatorem. Od 1949, kiedy to przy pomocy komputera ENIAC obliczono 2037 miejsc po przecinku, dokładniejsze aproksymacje liczby π uzyskiwano już tylko przy użyciu komputerów. We wrześniu 1999 roku obliczono π z dokładnością 2,0615×10¹¹ miejsc po przecinku. Dokonał tego Takahasi przy pomocy komputera HITACHI SR8000.

[edytuj] Wzory do obliczania liczby π

Powierzchnia koła jednostkowego:

$2\cdot\int\limits_{-1}^{\ 1} \sqrt{1-x^2}\,dx = \pi$

Obwód okręgu jednostkowego:

$\int\limits_{-1}^{\ 1}\frac{dx}{\sqrt{1-x^2}} = \pi$

François Viète, 1593:

$\frac{\sqrt2}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt2}}2 \cdot \frac{\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}2 \cdot \ldots = \frac2\pi$

Leibniz:

$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{2n+1} = \frac{1}{1} - \frac{1}{3} + \frac{1}{5} - \frac{1}{7} + \frac{1}{9} - \cdots = \frac{\pi}{4}$

Wallis:

$\prod_{n=1}^{\infty} \frac{4n^2}{4n^2-1} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \cdot \frac{6}{5} \cdot \frac{6}{7} \cdot \frac{8}{7} \cdot \frac{8}{9} \cdots = \frac{\pi}{2}$

Powyższe metody są wolno zbieżne. Do szybkich obliczeń komputerowych stosuje się przybliżenie wynikające z tożsamości:

$\frac{\pi}{4} = 4 \arctan\frac{1}{5} - \arctan\frac{1}{239}$

Funkcję arcus tangens należy rozwinąć w Szereg Taylora. Twórcą tej formuły jest angielski matematyk John Machin (1680—1751).

Szybkozbieżnych formuł postaci : $\frac{\pi}{4} = \sum_{n}^N a_n \arctan\frac{1}{b_n}$ pojawiło się więcej, m.in:

K. Takano (1982):

$\frac{\pi}{4} = 12 \arctan\frac{1}{49} + 32 \arctan\frac{1}{57} - 5 \arctan\frac{1}{239} + 12 \arctan\frac{1}{110443}$

F. C. W. Störmer (1896):

$\frac{\pi}{4} = 44 \arctan\frac{1}{57} + 7 \arctan\frac{1}{239} - 12 \arctan\frac{1}{682} + 24 \arctan\frac{1}{12943}$

Inne metody:

Newton:

$\frac{\pi}{2}= \sum_{k=0}^\infty\frac{k!}{(2k+1)!!}= 1+\frac{1}{3}\left(1+\frac{2}{5}\left(1+\frac{3}{7}\left(1+\frac{4}{9}(1+...)\right)\right)\right)$

Ramanujan:

$\frac{1}{\pi} = \frac{2\sqrt{2}}{9801} \sum^\infty_{k=0} \frac{(4k)!(1103+26390k)}{(k!)^4 396^{4k}}$

David Chudnovsky i Gregory Chudnovsky:

$\frac{1}{\pi} = 12 \sum^\infty_{k=0} \frac{(-1)^k (6k)! (13591409 + 545140134k)}{(3k)!(k!)^3 640320^{3k + 3/2}}$

Bailey-Borwein-Plouffe Bailey web page (1997)

$\sum_{k=0}^\infty\frac{1}{16^k}\left(\frac {4}{8k+1} - \frac {2}{8k+4} - \frac {1}{8k+5} - \frac {1}{8k+6}\right) = \pi$

Istnieją także rozwinięcia w ułamki łańcuchowe:

W. Brouncker (ok. 1600) ^[2]

$1+\frac{1^2}{2+\frac{3^2}{2+\frac{5^2}{2+\frac{7^2}{2+...}}}}=\frac{4}{\pi}$

L. Euler (ok. 1755) ^[2]

$1+\frac{2}{3+\frac{1\cdot 3}{4+\frac{3\cdot 5}{4+\frac{5\cdot 7}{4+...}}}}=\frac{\pi}{2}$

[edytuj] Kultura π

Liczba π ma swoich licznych wielbicieli. Obchodzą oni dzień π (14 marca) (amerykański sposób zapisu daty 3.14) oraz dzień aproksymacji π (22 lipca) (europejski sposób zapisu daty 22/7=~3.1428). Dla numerologów jest ona symbolem idealnej harmonii.

Tworzone są też bardzo zgrabne, śmieszne wierszyki, a nawet opowiadania, w których długość każdego kolejnego słowa jest równa kolejnej cyfrze w rozwinięciu dziesiętnym liczby π.

Niemcom w zapamiętaniu aproksymacji π uzyskanej przez van Ceulena może być pomocny wiersz napisany przez Clemensa Brentano, który jest przypuszczalnie pierwszym tego typu tekstem:

Nie, o Gott, o guter, verliehst Du meinem Hirne die Kraft mächtige Zahlreihn dauernd verkettet bis in die spaetere Zeit getreu zu merken. Drum hab ich Ludolph mir zu Lettern umgeprägt.

Nigdy, o dobry Boże, nie użyczysz mi mocy spamiętania po wsze czasy potężnego, ze sobą trwale sprzężonego szeregu cyfr. Dlatego przyswoiłem sobie ludolfinę w słowach. (przekład Witolda Rybczyńskiego)

Pierwszym polskim wierszem tego typu jest nieco toporny wiersz Kazimierza Cwojdzińskiego z 1930 roku, zamieszczony w październikowym wydaniu czasopisma Parametr, poświęconemu nauczaniu matematyki. Należy jednak pamiętać, że tekst powstał przed reformą ortografii z 1936 roku. Wtedy pisano nie ma w znaczeniu 'nie posiada' i niema w znaczeniu 'nie jest'.

Kuć i orać w dzień zawzięcie,

Bo plonów niema bez trudu!

Złocisty szczęścia okręcie,

Kołyszesz...

Kuć! My nie czekajmy cudu.

Robota to potęga ludu!

Jaś o kole z wyrwą dyskutuje
bo dobrze temat ten czuje
zastąpił ludolfinę słowami wierszyka
czy już wiesz, skąd zmiana ta wynika ?

Inne przykłady:

Kto z woli i myśli zapragnie Pi spisać cyfry, ten zdoła.

Oto limeryk opublikowany kiedyś w miesięczniku Delta:

Raz w maju, w drugą niedzielę

Pi liczył cyfry pan Felek.

Pomnożył, wysumował,

Cyferki zanotował,

Ale ma ich niewiele...

Kolejny, dłuższy przykład, w formie inwokacji do bogini pamięci (myślnik po 'pauza' zastępuje zero):

Daj, o pani, o boska Mnemozyno, pi liczbę, którą też zowią ponętnie Ludolfiną, pamięci przekazać tak, by jej dowolnie oraz szybko do pomocy użyć; gdy się problemu nie da inaczej rozwiązać, pauza - to zastąpić liczbami.

Najbardziej znany przykład angielski jest autorstwa sir Jamesa Jeansa:

How I want a drink, alcoholic of course, after the heavy lectures involving quantum mechanics!

Jakże chciałbym się napić, czegoś mocnego oczywiście, po trudnych wykładach zawierających mechanikę kwantową!

Popularny jest także następujący wierszyk:

How I wish I could recollect Pi easily today!

Jakże bym chciał dzisiaj łatwo przypomnieć sobie Pi!

Popularny jest również polski wierszyk:

Był i jest i wieki chwalonym ów będzie który kół obwód średnicą wymierzył

Istnieją również żarty na temat tej liczby:

Dlaczego pociąg jak jedzie to stuka?

Elementem poruszającym się po torze jest koło.

A obręcz koła to nic innego jak okrąg.

Należy przeanalizować wzór na długość okręgu:

$O = 2\! \pi r$ . 2 = to stała, r= określony promień, a π = trzy z...hakiem.

I ten hak stuka!

Liczba π była inspiracją wielu artystów i reżyserów. Darren Aronofsky poruszył jej temat w swoim filmie Pi. W literaturze Pi jest imieniem bohatera powieści Yanna Martela-"Życie Pi".

[edytuj] Znak π

William Jones

Leonhard Euler

Znak π jest oznaczeniem matematycznym wywodzącym się z litery alfabetu greckiego powszechnie używanym do oznaczenia liczby, której wartością jest stosunek długości obwodu koła do długości jego średnicy.

Jej pierwszego utożsamienia z wartością $3{,}14159 \cdots$ dokonał w dziele Synopsis Palmariorum Matheseos (1706) William Jones, walijski matematyk i pisarz. Oznaczenie to nie zdobyło uznania ani rozgłosu wśród matematyków, do czasu użycia go przez Leonarda Eulera w 1737 roku, w dziele Analiza, chociaż można znaleźć je we wcześniejszych pracach matematyków Williama Oughtreda, Isaaca Barrowa i Davida Gregory'ego. Oznaczenie pochodzi najpewniej ze związku wartości pi i długości obwódu, którego grecka nazwa to περιμετρον.

W Introductio in Analysin Infinitorum (1748) Euler pisze:

Satis liquet Peripheriam hujus Circuli in numeris rationalibus exacte exprimi non posse, per approximationes autem inventa est .. esse = 3,14159 [etc., to 128 places], pro quo numero, brevitatis ergo, scribam pi, ita ut sit π = Semicircumferentiae Circuli, cujus Radius = 1, seu pi erit longitudo Arcus 180 graduum.

Prawdopodnie znaczący wpływ na popularyzację symbolu π miało jego pojawienie się w Mathematical Tables (1742) Henry'ego Sherwina.

[edytuj] Porzucone oznaczenia

Euler w wydanym przed Analizą dziele De summis serierum reciprocarum (1734) używa oznaczenia p dla $Π$ . Co ciekawe, używa on też tego oznaczenia w napisanym już po wydaniu Analizy liście do Jamesa Stirlinga z 16 kwietnia 1738.
W liście, napisanym do Eulera w 1739 roku przez Johanna Bernoulli, używa on oznaczenia c dla liczby pi, jednak już w następnym liście do Eulera, z początku 1740 stosuje on oznaczenie π.

[edytuj] Niektóre wzory zawierające $\! \pi$

[edytuj] Geometria

Obwód okręgu o promieniu r: $2\pi r\quad$
Pole elipsy o półosiach równych a i b: $S=ab\pi\quad$
Objętość n wymiarowej kuli o promieniu r: $V_n=\frac {\pi^\frac{n} {2} \ } {\Gamma(\frac{n} {2}\ +1)}\ r^{n}$
Powierzchnia kuli o promieniu r: $4\pi r^{2}\quad$
Miara łukowa kąta półpełnego równa jest $π$ radianów
Objętość walca : $V = π r 2 H$

[edytuj] Analiza matematyczna

$\zeta(2) = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \cdots = \frac{\pi^2}{6}$ (Euler)
$\zeta(4)=\frac{\pi^4}{90}$
$\int\limits_{-\infty}^{\ \infty} e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$ (rozkład normalny)
$n! \approx \sqrt{2 \pi n} \left(\frac{n}{e}\right)^n$ (wzór Stirlinga)
$e^{\pi i} + 1 = 0\;$ (Wzór Eulera, nazywany również najpiękniejszym wzorem matematyki)
$\pi = 4 \int\limits_{0}^{\ 1} \frac{1}{1+x^2};$

[edytuj] Teoria liczb

Prawdopodobieństwo tego, że dwie losowo wybrane liczby całkowite są liczbami względnie pierwszymi wynosi $\frac{6}{\pi^{2}}$ .
Średnia liczba sposobów na zapisanie liczby naturalnej jako sumy dwóch liczb całkowitych, których pierwiastek też jest liczbą całkowitą, wynosi $\frac{\pi}{4}$ .

W powyższych przypadkach prawdopodobieństwo i średnią rozpatruje się w sensie granicznym np: rozważamy prawdopodobieństwo dla zbioru liczb {1, 2, 3,…, N} a następnie obliczamy granicę przy N dążącym do nieskończoności.

[edytuj] Fizyka

Zobacz galerię na Wikimedia Commons:
Pi

$\Delta x\Delta p\ge\frac{h}{4\pi}, \quad \Delta E\Delta t\ge\frac{h}{4\pi}$ (zasada nieoznaczoności Heisenberga)
$G_{\mu \nu}=\frac{8\pi G}{c^4}T_{\mu \nu}$ równanie pola grawitacyjnego ogólnej teorii względności

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Przypisy

↑ nazwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku
↑ ^2,0 ^2,1 "Tablice matematyczne" praca zbiorowa pod redakcją W. Mizerskiego, wyd. Adamantan Warszawa 1999

[edytuj] Linki zewnętrzne

E-tekst z projektu Gutenberg zawierający rozwinięcie liczby π długości 10⁶ miejsc po przecinku: http://www.gutenberg.org/etext/50
J.J. O'Connor and E.F. Robertson: A history of Pi. Projekt Mac Tutor: http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk/history/HistTopics/Pi_through_the_ages.html
Wiele wzorów na liczbę π: http://mathworld.wolfram.com/PiFormulas.html
Jak obliczyć wartość pi
Hasło Pi w encyklopedii PlanetMath.
Znajdź swoją ulubioną liczbę w liczbie Pi
Znajdź swoje imię zakodowane w liczbie Pi
Rozwinięcie dziesiętne pi do 1.000.000 miejsc po przecinku

p • d • e

stałe matematyczne

Lista stałych matematycznych • Pi • Podstawa logarytmu naturalnego • Stała Eulera • Złoty podział • Srebrny podział • Stała Chinczyna • Stała Apéry'ego • Stała Feigenbauma • Stała de Bruijna-Newmana • Stała Meissela-Mertensa • Stałe Bruna • Stała Catalana • Stała Legendre'a • Stała Sierpińskiego

10 medali polskich karateków w MŚ

Dziesięć medali - 3 złote, 5 srebrnych i 2 brązowe - zdobyli w Wilnie Polacy w 14. mistrzostwach świata w karate tradycyjnym.

El. MŚ: Gwinea uzupełniła stawkę

Gwinea, po zwycięstwie z Kenią 3:2, jako ostatni zespół zapewniła sobie awans do kolejnej fazy eliminacjach piłkarskich mistrzostw świata strefy Afryki.

ATP w Wiedniu: Petzschner najlepszy

Niemiecki tenisista Philipp Petzschner pokonał rozstawionego z numerem osiem Francuza Gaela Monfilsa 6:4, 6:4 w finale turnieju w Wiedniu (suma nagród 674 tys. euro).

PE: Górnik ratuje remis w derbach Śląska

Górnik Zabrze zremisował z Ruchem Chorzów 1:1 (0:1) w derbach Śląska rozegranych w ramach 4. kolejki Pucharu Ekstraklasy.

MŚ w futsalu: Brazylia i Hiszpania w półfinale

Zawodnicy Brazylii pokonali Włochów 3:0 w futsalowych mistrzostwach świata i dzięki tej wygranej "Canarinhos" awansowali do półfinału.

Linki: Strona g��wna

[0] zwa ta pochodzi od imienia niemieckiego matematyka Ludolpha van Ceulena żyjącego na przełomie XVI i XVII wieku, który podał wartość liczby π z dokładnością do 35 miejsc po przecinku

[tabmat-1] 2,0 ^2,1 "Tablice matematyczne" praca zbiorowa pod redakcją W. Mizerskiego, wyd. Adamantan Warszawa 1999

[1]

[2]

Encyklopedia

Pi