Pierwiastek algebraiczny

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja
2 Wyznaczanie
3 Przykłady
4 Zobacz też

Pierwiastek algebraiczny – odpowiednik pierwiastka arytmetycznego dla liczb zespolonych.

[edytuj] Definicja

Pierwiastkiem algebraicznym stopnia $n \in \mathbb N$ z liczby $x \in \mathbb C$ nazywamy każdą liczbę $y \in \mathbb C$ spełniającą równość

y n = x

.

Dla każdej niezerowej liczby zespolonej istnieje dokładnie $n$ jej różnych pierwiastków algebraicznych. Ważne zastosowania mają pierwiastki z jedynki.

Warto zauważyć, że pierwiastek algebraiczny nie jest działaniem (nie jest nawet funkcją). Do jego oznaczenia korzysta się z tego samego symbolu co dla pierwiastka arytmetycznego, czyli $\sqrt[n] x$ .

[edytuj] Wyznaczanie

Zobacz więcej w osobnym artykule: wzór de Moivre'a.

Pierwiastki liczby zespolonej można łatwo wyznaczyć korzystając ze wzoru de Moivre'a:

$z_k = \sqrt[n]{|z|}\left(\cos \tfrac{\psi + 2k\pi}{n} + i\sin \tfrac{\psi + 2k\pi}{n}\right)$ ,

dla $k = 0, 1, 2, \dots, n-1$ .

Warto pamiętać, że pierwiastki obliczane dla $k$ oraz $k + n q$ dla $q \in \mathbb Z$ są sobie równe.

[edytuj] Przykłady

Obliczmy pierwiastki algebraiczne drugiego stopnia z liczby zespolonej $z = - 4$ , przekształćmy ją uprzednio do postaci trygonometrycznej:

$\operatorname{Re}\;z = -4$ oraz $\operatorname{Im}\;z = 0$ , stąd

| z | = 4

. Jest $\operatorname{Arg}\; z = \pi$ , mamy więc

z = 4(cosπ + i sinπ)

.

Istnieją wyłącznie dwa różne pierwiastki, pierwiastek $z 0$ obliczymy dla $k = 0$ , pierwiastek $z 1$ dla $k = - 1$ :

$z_0 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi}{2}\right) = 2i$ ,

$z_1 = 2 \left(\cos \tfrac{\pi - 2\pi}{2} + i\sin \tfrac{\pi - 2\pi}{2}\right) = -2i$ .

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Pomysł na autostrady - "machnąć ręką na koncesje, żaby i glizdy"

Poseł Zbigniew Girzyński przedstawił na swoim blogu w Onet. pl pomysł na szybka budowę autostrad w Polsce. - Może więc warto machnąć ręką na koncesje dla pokrętnych wykonawców, Naturę 2000, glizdy i żaby, które trochę się zestresują przy budowie i kwaśne mini członków Komisji Europejskiej i zacząć po prostu budować? (...) Zanim się w tych zbiurokratyzowanych strukturach Brukseli zorientują o co chodzi, to my będziemy sobie mknęli po naszej kochanej Polsce autostradami - napisał Girzyński.

Błędy lekarzy przyczyną śmierci ojca Ziobry?

Gdyby nie błędy lekarzy, Jerzy Ziobro mógłby żyć - wynika z ekspertyz zagranicznych specjalistów, do których dotarł "Newsweek". W tym tygodniu sąd rozstrzygnie, czy śledztwo w sprawie śmierci ojca byłego ministra sprawiedliwości należy wznowić.

Nigeryjczyk odbierał przesyłkę pełną marihuany

Nigeryjczyka podejrzewanego o udział w przemycie narkotyków zatrzymali w Katowicach policjanci z CBŚ. W przesyłce zaadresowanej do niego były 2 kg marihuany.

Obcy agenci chcieli wykraść polską technologię

Kilka obcych wywiadów próbowało w ostatnich latach wykraść polską supertechnologię wojskową służącą do wykrywania skażeń chemicznych i radioaktywnych - podał Polsat News. Chodzi o nowoczesny system Tafios. Tego typu urządzenia nie ma żadna armia świata.

Nocna akcja GOPR w Bieszczadach

Ratownicy Bieszczadzkiej Grupy GOPR po 3-godzinnej nocnej akcji odnaleźli dwójkę turystów, którzy zgubili się w górach.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia