Pierwiastek arytmetyczny - Google

Pierwiastek arytmetyczny

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Pierwiastek arytmetyczny (symbol: \sqrt[n]{x}, dla pierwiastka kwadratowego stopień n = 2 standarodowo pomijany: \sqrt{x}) – działanie odwrotne do potęgowania.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech n\; będzie liczbą naturalną, zaś x \geqslant 0 będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n\; z x\; nazywamy nieujemną liczbę y \in \mathbb R, spełniająca równość y^n = x\;.

Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg, jeżeli

  • n = 2\;, to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
  • n = 3\;, to pierwiastek nazywamy szeÅ›ciennym.

Pierwiastek oznaczamy symbolem \sqrt[n]x lub x^\frac{1}{n}. W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: \sqrt x. Jeżeli n = 1\;, to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie.

[edytuj] Własności

Jeżeli x, y \geqslant 0,\; n, m \in \mathbb N_{+}, to

  • \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]x \sqrt[n]y,
  • \sqrt[n]\tfrac{x}{y} = {\sqrt[n]x \over \sqrt[n]y} dla y \ne 0,
  • \sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]x\right)^m = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = x^\tfrac{m}{n},
  • \sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},
  • |\sqrt x - \sqrt y| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}}.

[edytuj] Uogólnienia

Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla x < 0 wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. \sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{|x|}.

Wówczas dla dowolnego x \in \mathbb R

\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x & \mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych,} \\ |x| & \mbox{dla } n \mbox{ parzystych.} \end{cases}

Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie na wykładniki rzeczywiste.

Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.

[edytuj] Zobacz też


[edytuj] Typografia i DTP

W Unikodzie symbol pierwiastka oraz kreski wiążącej występuje w kilku wersjach:

Znak Kod Nazwa unikodowa Nazwa polska[1]
√ U+221A SQUARE ROOT pierwiastek kwadratowy
∛ U+221B CUBE ROOT pierwiastek sześcienny
∜ U+221C FOURTH ROOT pierwiastek czwartego stopnia
‾ U+203E OVERLINE kreska wiążąca górna
‾ U+0305 COMBINING OVERLINE kreska wiążąca górna dostawna

Przypisy

  1. ↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

Zadowolenie Ahmadeniżada
Irański prezydent Mahmud Ahmadineżad ocenił genewskie rozmowy ws. programu atomowego swego kraju jako "krok naprzód" - podała w niedzielę agencja IRNA. Ocena szefa unijnej dyplomacji Javiera Solany jest zupełnie odwrotna.
Polsko - afgańska akcja w prowincji Paktika
Polsko-afgańska operacja w prowincji Paktika. Żołnierze zatrzymali kilkanaście osób, w tym siedem podejrzanych o aktywną współpracę z talibami. Skonfiskowali także broń.
Sarkozy jedzie zrozumieć Irlanczyków
Nicolas Sarkozy w przeddzień wizyty w Dublinie stwierdza, że musi zrozumieć przesłanie, które Irlandczycy chcieli przekazać głosując przeciwko Traktatowi Lizbońskiemu. W wywiadzie dla "The Irish Times" zapowiada, że jego pobyt będzie służył właśnie "wysłuchaniu i zrozumieniu".
Autostrada do miłości
Ponad półtora miliona fanów muzyki elektronicznej bawiło się na jednym z największych festiwali na świecie - Love Parade w Dortmundzie. Największą gwiazdą parady był didżej światowej sławy - Moby. Nie zabrakło innych sław. W roztańczonym tłumie pojawił się m.in. ukraiński bokser Władimir Kliczko.
2 tysiące ludzi bez dachu nad głową
Wielka w Meksyku woda nie ustępuje. W stanie Zacatecas 3 osoby zginęły pod wodą, 23 są zaginione, w ponad 2 tysiące straciło swoje domy. Pomoc dla powodzian zapowiedział prezydent Felipe Calderon.
Linki: Strona g³ówna