Pierwiastek arytmetyczny - Google

Pierwiastek arytmetyczny

Z Wikipedii

(Przekierowano z Pierwiastek kwadratowy)
Skocz do: nawigacji, szukaj

Pierwiastek arytmetyczny (symbol: \sqrt[n]{x}, dla pierwiastka kwadratowego stopień n = 2 standarodowo pomijany: \sqrt{x}) – działanie odwrotne do potęgowania.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech n\; będzie liczbą naturalną, zaś x \geqslant 0 będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n\; z x\; nazywamy nieujemną liczbę y \in \mathbb R, spełniająca równość y^n = x\;.

Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg, jeżeli

  • n = 2\;, to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
  • n = 3\;, to pierwiastek nazywamy sześciennym.

Pierwiastek oznaczamy symbolem \sqrt[n]x lub x^\frac{1}{n}. W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: \sqrt x. Jeżeli n = 1\;, to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie.

[edytuj] Własności

Jeżeli x, y \geqslant 0,\; n, m \in \mathbb N_{+}, to

  • \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]x \sqrt[n]y,
  • \sqrt[n]\tfrac{x}{y} = {\sqrt[n]x \over \sqrt[n]y} dla y \ne 0,
  • \sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]x\right)^m = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = x^\tfrac{m}{n},
  • \sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},
  • |\sqrt x - \sqrt y| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}}.

[edytuj] Uogólnienia

Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla x < 0 wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. \sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{|x|}.

Wówczas dla dowolnego x \in \mathbb R

\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x & \mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych,} \\ |x| & \mbox{dla } n \mbox{ parzystych.} \end{cases}

Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie na wykładniki rzeczywiste.

Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.

[edytuj] Zobacz też


[edytuj] Typografia i DTP

W Unikodzie symbol pierwiastka oraz kreski wiążącej występuje w kilku wersjach:

Znak Kod Nazwa unikodowa Nazwa polska[1]
√ U+221A SQUARE ROOT pierwiastek kwadratowy
∛ U+221B CUBE ROOT pierwiastek sześcienny
∜ U+221C FOURTH ROOT pierwiastek czwartego stopnia
‾ U+203E OVERLINE kreska wiążąca górna
‾ U+0305 COMBINING OVERLINE kreska wiążąca górna dostawna

Przypisy

  1. ↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

Olejnik i Kolenda-Zaleska na Kongresie Kultury Chrześcijańskiej
We wrześniu na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim Jana Pawła II odbędzie się III Kongres Kultury Chrześcijańskiej. Tegoroczny kongres, obok wielu wybitnych świeckich i duchownych naukowców oraz działaczy religijnych z kraju i zagranicy, zgromadzi całą plejadę postaci medialnych związanych głownie ze środowiskiem "Gazety Wyborczej", "Tygodnika Powszechnego", "Więzi" i "Znaku" - pisze "Nasz Dziennik".
SDP apeluje o ochronę godności dziennikarzy
Stowarzyszenie Dziennikarzy Polskich - w związku z rezygnacją TV Puls z programu informacyjnego "Puls Raport" - apeluje do całego dziennikarskiego środowiska "o poparcie protestu przeciwko działaniom naruszającym godność naszego zawodu".
"Panorama" TVP2 od jesieni jeszcze później
Główne wydanie "Panoramy", informacyjnego programu telewizyjnej Dwójki, od jesieni będzie emitowana jeszcze później niż teraz. Serwis przeniesiono z godz. 24 na w pół do pierwszej w nocy.
"Spiegel" i "Bild" najczęściej cytowane w Niemczech
Tygodnik opinii "Spiegel" i tabloid "Bild" były najczęściej cytowanymi tytułami w niemieckich mediach w pierwszym półroczu br. – wynika z raportu instytutu badawczego Media Tenor.
Łemkowskie kolumny w "Polsce Gazecie Krakowskiej"
Dziś w cotygodniowym dodatku do "Polski Gazety Krakowskiej" (Polskapresse) – "Gazecie Gorlickiej" - ukażą się trzy kolumny w języku łemkowskim.
Linki: Strona gwna