Pierwiastek arytmetyczny - Google

Pierwiastek arytmetyczny

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Pierwiastek arytmetyczny (symbol: \sqrt[n]{x}) – działanie odwrotne do potęgowania.

Spis treści

[edytuj] Definicja

Niech n\; będzie liczbą naturalną, zaś x \geqslant 0 będzie liczbą rzeczywistą. Pierwiastkiem arytmetycznym stopnia n\; z x\; nazywamy nieujemną liczbę y \in \mathbb R, spełniająca równość y^n = x\;.

Pierwiastki niskich stopni otrzymały nazwy zwyczajowe pochodzące od odpowiednich nazw zwyczajowych potęg:

  • jeżeli n = 2\;, to pierwiastek nazywamy kwadratowym;
  • jeżeli n = 3\;, to pierwiastek nazywamy sześciennym.

Pierwiastek oznaczamy symbolem \sqrt[n]x. W symbolu pierwiastka kwadratowego zwykle nie umieszcza się stopnia: \sqrt x. Jeżeli n = 1\;, to pierwiastek jest równy pierwiastkowanej liczbie. Można też zamiast \sqrt[n]x używać zapisu x^\frac{1}{n}, zgodnie z definicją potęgi wymiernego stopnia.

[edytuj] Własności

Jeżeli x, y \geqslant 0,\; n, m \in \mathbb N, to

  • \sqrt[n]{xy} = \sqrt[n]x \sqrt[n]y,
  • \sqrt[n]\tfrac{x}{y} = {\sqrt[n]x \over \sqrt[n]y} dla y \ne 0,
  • \sqrt[n]{x^m} = \left(\sqrt[n]x\right)^m = \left(x^\frac{1}{n}\right)^m = x^\tfrac{m}{n},
  • \sqrt x + \sqrt y = \sqrt{x + y + 2\sqrt{xy}},
  • |\sqrt x - \sqrt y| = \sqrt{x + y - 2\sqrt{xy}}.

[edytuj] Uogólnienia

Można rozszerzyć definicję pierwiastka arytmetycznego dla nieparzystych stopni przyjmując, że dla x < 0\; wartość pierwiastka jest ujemna, tzn. \sqrt[n]{x} = -\sqrt[n]{|x|}.

Wówczas dla dowolnego x \in \mathbb R

\sqrt[n]{x^n} = \begin{cases} x & \mbox{dla } n \mbox{ nieparzystych,} \\ |x| & \mbox{dla } n \mbox{ parzystych.} \end{cases}

Wyżej wspomniane własności pozwalają na uogólnienie definicji potęgi liczby nieujemnej tak, by wykładnik był liczbą wymierną (zob. artykuł Potęga). Poprzez przejścia graniczne możliwe jest dalsze uogólnienie definicji potęgi na wykładniki rzeczywiste.

Czasem mówi się też o pierwiastku dowolnego wymiernego i nawet dowolnego rzeczywistego (oprócz 0) stopnia, uważając że \sqrt[r]x=x^{\frac{1}{r}}. Takie uogólnienie jest bardzo niestandardowe, ale stosuje się w niektórych kalkulatorach.

Uogólnieniem pojęcia pierwiastka arytmetycznego na liczby zespolone jest pierwiastek algebraiczny.

[edytuj] Zobacz też


[edytuj] Typografia i DTP

W Unikodzie symbol pierwiastka oraz kreski wiążącej występuje w kilku wersjach:

Znak Kod Nazwa unikodowa Nazwa polska[1]
√ U+221A SQUARE ROOT pierwiastek kwadratowy
∛ U+221B CUBE ROOT pierwiastek sześcienny
∜ U+221C FOURTH ROOT pierwiastek czwartego stopnia
‾ U+203E OVERLINE kreska wiążąca górna
‾ U+0305 COMBINING OVERLINE kreska wiążąca górna dostawna

W LaTeXu:

  • pierwiastek \sqrt[k] x zapisywany jest jako \sqrt[k] x
  • pierwiastek \sqrt x zapisywany jest jako \sqrt x

Przypisy

  1. ↑ Nazwy polskie zaczerpnięte lub utworzone na podstawie Robert Bringhurst, Elementarz stylu w typografii (Załącznik A), Design Plus, Kraków 2007.

URE wysłało zapytanie o uzasadnienie podwyżek cen energii
Urząd Regulacji Energetyki wysłał zapytanie do spółek obrotu energią o uzasadnienie wniosków taryfowych - poinformował dziennikarzy we wtorek wiceprezes URE Marek Woszczyk.
Egipt: sąd zabronił eksportu gazu ziemnego do Izraela
Sąd administracyjny w Kairze nakazał we wtorek wstrzymanie eksportu egipskiego gazu ziemnego do Izraela. Orzeczenie wydano w sprawie, wniesionej przeciwko rządowi egipskiemu przez grupę adwokatów.
W Europie spadki na giełdach
Spadają indeksy na giełdach w zachodniej Europie z powodu obaw, że pogłębiająca się recesja w USA spowoduje spadek zysków firm - podają maklerzy. Tanieją akcje spółek finansowych i surowcowych.
Siedem firm zainteresowanych pracami ziemnymi przy Baltic Arenie
Siedem firm złożyło oferty wykonania prac ziemnych przy budowie Baltic Areny, stadionu w Gdańsku na którym rozgrywane będą mecze w ramach mistrzostw Europy w piłce nożnej w 2012 roku. Organizatorzy przetargu szacują wartość inwestycji na 170 mln zł.
Komisarz Alitalii: codziennie odwołamy 100 lotów
Do końca listopada, czyli terminu powstania nowej Alitalii, linie te będą odwoływać codziennie sto lotów - zapowiedział ich komisarz Augusto Fantozzi w opublikowanym we wtorek wywiadzie dla dziennika "La Repubblica".
Linki: Strona gwna