Podgrupa

Z Wikipedii

Podgrupa – podzbiór zbioru elementów grupy który tworzy grupę z tym samym działaniem (ograniczonym do tego podzbioru). Badanie różnych rodzajów podgrup danej grupy dostarcza o niej wielu informacji. Często grupę daje się rozłożyć na iloczyn prosty jej podgrup.

Spis treści

1 Definicja
2 Własności i pojęcia pokrewne
3 Przykłady
4 Zobacz też

[edytuj] Definicja

Niech $(G,\circ)$ będzie grupą oraz niech $\emptyset\neq H\subseteq G$ . Powiemy, że $H$ jest podgrupą grupy $G$ jeśli $H$ jest zamknięte na operację $\circ$ oraz $(H,\circ)$ jest grupą.

To, że H jest podgrupą w G oznacza się przez $H \le G$ . Oczywiście w dowolnej grupie G zawiera się grupa trywialna, $\{e\} \le G$ , oraz cała grupa, $G \le G$ . Takie podgrupy nazywa się niewłaściwymi bądź trywialnymi. Pozostałe podgrupy grupy $G$ nazywa się nietrywialnymi albo właściwymi i oznacza się często symbolami $<$ lub $\lneq$ .

[edytuj] Własności i pojęcia pokrewne

Niech $(G,\circ)$ będzie grupą oraz niech $\emptyset\neq H\subseteq G$ . Wówczas następujące warunki są równoważne:

(A)

H

jest podgrupą

G

;

(B) $H \subseteq G$ jest zamknięte ze względu na oba działania grupowe, czyli:

$(\forall a, b \in H) (a\circ b \in H)$ oraz $(\forall a \in H)(a^{-1} \in H)$ ;

(C) $(\forall a, b \in H)(a\circ b^{-1} \in H)$ .

Twierdzenie Cayleya mówi, że każda grupa jest izomorficzna z podgrupą pewnej grupy permutacji.
Rozważa się warstwy (lewo- i prawostronne) grupy względem danej podgrupy, które są rozłącznymi zbiorami na które rozpada się grupa. Indeksem grupy $G$ względem podgrupy $H$ nazywamy moc zbioru warstw lewostronnych podgrupy $H$ i oznaczamy $[G : H]$ . (Stosuje się także oznaczenia $(G : H)$ lub $| G : H |$ .)
Jeżeli warstwy lewostronne grupy są równe prawostronnym, to taką podgrupę nazywa się podgrupą normalną tej grupy. Grupa ilorazowa powstaje przez utożsamienie pewnej podgrupy normalnej z elementem neutralnym grupy z której powstaje (inną nazwą podgrupy normalnej jest dzielnik normalny).
Mocniejszą niż normalność podgrupy własnością jest charakterystyczność.

[edytuj] Przykłady

Grupa liczb rzeczywistych z działaniem dodawania ma podgrupę liczb wymiernych z tym samym działaniem, podobnie zbiór liczb całkowitych jest podgrupą grupy liczb rzeczywistych (a także wymiernych).
Zbiór liczb rzeczywistych dodatnich tworzy podgrupę grupy liczb rzeczywistych różnych od 0 z działaniem mnożenia.
Zbiór liczb wymiernych tworzy podgrupę liczb rzeczywistych z działaniem dodawania.
Zbiór liczb całkowitych stanowi podgrupę grupy liczb wymiernych z działaniem dodawania.
Zbiór liczb całkowitych parzystych jest podgrupą liczb całkowitych z działaniem dodawania.
Zbiór obrotów tworzy pogrupę grupy wszystkich izometrii danej przestrzeni euklidesowej z działaniem składania przekształceń.
Zbiór macierzy kwadratowych o wyznaczniku równym 1 tworzy podgrupę grupy wszystkich macierzy kwadratowych danego stopnia o wyznaczniku różnym od 0 z działaniem mnożenia macierzy.
Ważnymi podgrupami pomocnymi w badaniu grupy są centralizator i normalizator oraz jej centrum:

centrum grupy $(G, \cdot)$ to podgrupa $Z(G)= \{a \in G\colon ab = ba \forall_{b \in G}\} \vartriangleleft G$ ;

centralizator elementu $a \in G$ to zbiór $C(a)=\{b \in G\colon ab = ba\}$ .
Podgrupa generowana przez element:

Zbiór wszystkich potęg danego elementu

g

, czyli $\{\dots, g^{-2}, g^{-1}, g^0=e, g^1, g^2, \dots \}$ , grupy dowolnego rzędu jest podgrupą. Jest to grupa cykliczna nazywana podgrupą generowaną przez element

g

. Rzędem elementu

g

nazywamy rząd tej podgrupy.

[edytuj] Zobacz też

Polska liderem w pokazywaniu europejskich produkcji

Europejskie stacje telewizyjne przeznaczają ponad 65 proc. czasu antenowego na produkcje europejskie, w tym ponad 36 proc. na produkcje niezależnych producentów z UE - wynika z piątkowego raportu Komisji Europejskiej. Polska jest liderem rankingu krajów UE.

TVP procesuje się z "Dziennikiem"

Przeprosin i wpłaty 200 tys. na cel społeczny żąda TVP od "Dziennika" za artykuł pt. "Korupcja w TVP" - o domniemanej propozycji wiceszefowej Agencji Informacji TVP Patrycji Koteckiej wyższych wycen za materiały kompromitujące PO.

Maks Kolonko procesuje się z "Faktem"

Przeprosin i 100 tysięcy zł zadośćuczynienia żąda od wydawcy "Faktu" znany prezenter TV Mariusz Maks Kolonko za nazwanie go "łajdakiem" i sugestię, że swój związek z Weroniką Rosati traktował instrumentalnie.

Powstaje audiobook o Śląsku

Sześć płyt i książka z esejami złożą się na audiobook poświęcony Śląskowi. Ma to być dźwiękowy pejzaż regionu.

Dodatek o Powstaniu Warszawskim w "Rzeczpospolitej"

Dzisiaj dziennik "Rzeczpospolita" (Presspublica) ukaże się z dodatkiem poświęconym Powstaniu Warszawskiemu – "Warszawa '44".

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia