Podzbiór

Z Wikipedii

Jeżeli $A$ i $B$ są zbiorami oraz każdy element $b \in B$ jest jednocześnie elementem zbioru $A$ , to zbiór $B$ nazywa się podzbiorem zbioru $A$ . Sam zbiór $A$ nosi wtedy nazwę nadzbioru zbioru $B$ :

$B \subseteq A \iff \forall_{b \in B}\ b\in A$ .

Innym spotykanym oznaczeniem jest odwrócenie symboli $B \subseteq A$ , mianowicie $A \supseteq B$ .

Intuicyjnie można powiedzieć, że podzbiór to "część" danego zbioru.

Jeżeli podzbiór $B \subseteq A,\quad B \ne A$ , to $B$ nazywamy podzbiorem właściwym zbioru $A$ i piszemy $B \subset A$ albo $B \subsetneq A$ .

Warto pamiętać, że jeśli $A \subseteq B$ oraz $A \supseteq B$ , to $A = B$ .

Część autorów używa symbolu $\subset$ dla relacji zawierania się, tak właściwego jak i niewłaściwego, choć wg analogii z podobnymi symbolami relacji porządku powinny oznaczać one zawieranie właściwe. Symbole $\subseteq$ i $\subsetneq$ są zawsze jednoznaczne.

[edytuj] Własności

Fakt "bycia podzbiorem" wyrażamy równoważnie przez relację zawierania lub inaczej – inkluzji – o podzbiorze $B$ mówimy, że zawiera się w zbiorze $A$ , zaś o nadzbiorze $A$ , że zawiera zbiór $B$ . Inkluzja ma następujące własności:

$\emptyset\subseteq A$
$A\subseteq A$ (zwrotność)
$A\subseteq B \wedge B\subseteq A\Rightarrow A=B$ (antysymetria)
$A\subseteq B \wedge B\subseteq C\Rightarrow A\subseteq C$ (przechodniość)

Inkluzja jest więc relacją częściowego porządku.

[edytuj] Przykłady

A jest podzbiorem B, i B jest nadzbiorem A.

zbiór ${1,3,4}$ jest podzbiorem właściwym zbioru ${1,2,3,4}$ ,
zbiór ${1,2,3,4}$ również jest podzbiorem zbioru ${1,2,3,4}$ ,
zbiór ${1,2,4,5}$ nie jest podzbiorem zbioru ${1,2,3,4}$ ,
zbiór liczb naturalnych jest podzbiorem właściwym zbioru liczb całkowitych,
zbiór liczb wymiernych jest podzbiorem zbioru liczb rzeczywistych,
zbiór liczb całkowitych nie jest podzbiorem zbioru liczb naturalnych,
zbiór kwadratów jest podzbiorem zbioru rombów, a także zbioru prostokątów,
zbiór rombów nie jest podzbiorem zbioru prostokątów.

[edytuj] Zobacz też

Zobacz podręcznik na Wikibooks: Matematyka dla liceum - Liczby i ich zbiory

Litwa: przerwano retransmisję programu 1 TVP

Na Litwie przerwano retransmisję pierwszego programu Telewizji Polskiej. Litewskie zrzeszenie telewizji kablowych twierdzi, że retransmisję przerwano na wniosek strony polskiej.

Nieobecni jesiennych ramówek

W jesiennych ramówkach największych telewizji zabrakło kilku programów, które jeszcze niedawno były przedstawiane jako hity stacji.

Kampania promocyjna Polski w CNN

26 września br. rozpocznie się jedna z największych jak dotąd telewizyjnych kampanii Polski i polskich miast poza granicami kraju. Ponad 700 spotów zostanie wyemitowanych w telewizji CNN.

Co 8 internauta korzysta z serwisów religijnych

12 proc. polskich internautów odwiedziło w kwietniu br. witryny o tematyce religijnej - wynika z badania Megapanel PBI/Gemius.

"Cztery Kąty" szukają najpiękniejszego miejsca

W wydaniu wrześniowym miesięcznik "Cztery Kąty" (Agora SA) pod hasłem "Miejsce szczególne" rozpoczął plebiscyt na najpiękniejsze miejsce w przestrzeni publicznej.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Podzbiór

Z Wikipedii

[edytuj] Własności

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zobacz też