Prawa De Morgana

Z Wikipedii

Prawa De Morgana – twierdzenia w logice matematycznej i teorii mnogości. Od nazwiska Augusta De Morgana, angielskiego matematyka.

Spis treści

1 Logika
- 1.1 Tabele prawdy
2 Rachunek kwantyfikatorów
3 Teoria mnogości
4 Algebry Boole'a
5 Zobacz też

[edytuj] Logika

I prawo De Morgana: Prawo zaprzeczenia alternatywy: negacja alternatywy jest równoważna koniunkcji negacji; $\lnot (p \lor q) \iff (\lnot p \land \lnot q)$ ;

II prawo De Morgana: Prawo zaprzeczania koniunkcji: negacja koniunkcji jest równoważna alternatywie negacji; $\lnot (p \land q) \iff (\lnot p \lor \lnot q)$ ,

gdzie p i q oznaczają zdania w sensie logiki.

Prawa umożliwiają definiowanie jednych spójników zdaniowych za pomocą innych. Na przykład, korzystając z koniunkcji i negacji, za pomocą prawa podwójnej negacji można określić alternatywę:

$p \lor q \iff \lnot (\lnot p \land\lnot q)$

[edytuj] Tabele prawdy

$\lnot (p \land q) \iff (\lnot p) \lor (\lnot q)$
$p$	$q$	$p \land q$	$\lnot (p \land q)$	$\lnot p$	$\lnot q$	$(\lnot p) \lor (\lnot q)$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	0	1	1	0	1
1	0	0	1	0	1	1
1	1	1	0	0	0	0

$\lnot(p \lor q) \iff (\lnot p) \land (\lnot q)$
$p$	$q$	$p \lor q$	$\lnot (p \lor q)$	$\lnot p$	$\lnot q$	$(\lnot p) \land (\lnot q)$
0	0	0	1	1	1	1
0	1	1	0	1	0	0
1	0	1	0	0	1	0
1	1	1	0	0	0	0

Porównanie wartości w czwartej i siódmej kolumny ostatniego wiersza obu tabel (oznaczonych kolorem żółtym) daje przekonanie o prawdziwości wyrażeń

$\lnot (p \land q) \iff (\lnot p) \lor (\lnot q)$ oraz

$\lnot (p \lor q) \iff (\lnot p) \land (\lnot q)$

bez względu na wartościowanie zmiennych p i q (ma ono zawsze wartość logiczną równą 1). Zdania takie jak nazywa się tautologiami.

[edytuj] Rachunek kwantyfikatorów

W rachunku kwantyfikatorów prawa De Morgana opisują reguły zaprzeczania kwantyfikatorom:

$\lnot\bigg(\forall_x\ p(x)\bigg) \iff \bigg(\exists_x\ \lnot p(x)\bigg)$ ,

$\lnot\bigg(\exists_x\ p(x)\bigg) \iff \bigg(\forall_x\ \lnot p(x)\bigg)$ ,

gdzie $p (x)$ jest dowolnym zdaniem zależnym od zmiennej $x$ .

[edytuj] Teoria mnogości

W teorii mnogości prawa De Morgana służą opisowi działania dopełnienia (lub dokładniej: różnicy zbiorów):

dopełnienie sumy zbiorów jest równe części wspólnej ich dopełnień,

$(A \cup B)^c = A^c \cap B^c$ ,
dopełnienie części wspólnej zbiorów jest równe sumie ich dopełnień,

$(A \cap B)^c = A^c \cup B^c$

Z zasady indukcji matematycznej to samo prawo zachowane jest dla skończenie wielu zdarzeń:

$\left(\bigcup_{i\in I}~A_i\right)^c = \bigcap_{i\in I}~A_i^c.$ ,

$\left(\bigcap_{i\in I}~A_i\right)^c = \bigcup_{i\in I}~A_i^c.$ ,

gdzie $I \subset \mathbb N$

Analogicznie wysławia się i zapisuje prawa De Morgana dla nieskończonych rodzin zbiorów (w powyższych wzorach należy przyjąć, że $I$ jest taką rodziną).

[edytuj] Algebry Boole'a

Jeżeli $(B, \cup, \cap, -, 0, 1)$ jest zupełną algebrą Boole'a, to dla $a_i\in B,\, i\in I$ :

$-\left(\bigcup_{i\in I}~a_i\right) = \bigcap_{i\in I}~-a_i$ ,

$-\left(\bigcap_{i\in I}~a_i\right) = \bigcup_{i\in I}~-a_i$ .

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

ASTD współorganizatorem Międzynarodowego Kongresu Kadry

W dniach 24-27 listopada odbędzie się Międzynarodowy Kongres Kadry - VIII edycja Kongresu Kadry, po raz pierwszy w wydaniu międzynarodowym.

Obrady WTO na razie bez przełomu

W toczących się od poniedziałku rozmowach w Genewie na temat zniesienia barier w światowym handlu w ramach tzw. rundy z Dauhy do soboty nie udało się wypracować porozumienia.

Absurdalne zapisy blokują unijne dotacje

Bardzo dobry projekt może nie dostać dofinansowania, jeżeli np. przedsiębiorca wypełni wniosek... czarnym długopisem. Takie wątpliwe wymogi wymyślają urzędnicy - czytamy w "Rzeczpospolitej".

KE zamroziła ponad 2 mld euro dla Bułgarii

Komisja Europejska zamroziła znacznie więcej środków dla Bułgarii, niż ogłoszone w środę 825 mln euro z przedakcesjnych funduszy ISPA, PHARE i SAPARD - napisał bułgarski dziennk "Sega".

Betacom: 35 proc. zysku na dywidendę?

Zarząd Betacom zamierza wnioskować do Rady Nadzorczej i WZA o przeznaczenie na wypłatę dywidendy około 35 proc. zysku netto za rok obrotowy 2007/08. W kolejnych latach zarząd planuje rekomendować wypłatę dywidendy na poziomie 25-35 proc. zysku - poinformowała spółka w raporcie rocznym.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia