Programowanie liniowe - Google

Programowanie liniowe

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Programowanie liniowe to klasa problemów programowania matematycznego, w której wszystkie warunki ograniczające oraz funkcja celu mają postać liniową. Warunki ograniczające mają postać:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n \ge \alpha
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n \le \alpha
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots + a_n x_n = \alpha

Mamy zmaksymalizować lub zminimalizować funkcję celu, również liniową:

f = \alpha + c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n

Zmienne xi sÄ… liczbami rzeczywistymi.

Oczywiście nie zawsze taki problem ma jakiekolwiek rozwiązanie, np.:

x_1 \ge 2
x_1 \le 1

Być może też żadne rozwiązanie nie jest optymalne, ponieważ potrafimy uzyskać dowolnie dużą wartość funkcji celu, np.:

Zmaksymalizuj f = x1 przy warunku
x_1 \ge 10

Programowanie liniowe znalazło szerokie zastosowanie w teorii decyzji, np. do optymalizacji planu produkcyjnego. Wiele problemów optymalizacyjnych znajduje rozwiązanie poprzez sprowadzenie ich do postaci problemu programowania liniowego.

Spis treści

[edytuj] Postać standardowa

Postać standardowa to taka, w której funkcja celu ma być maksymalizowana, występują tylko warunki postaci:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n \le \alpha

oraz na każdą zmienną nałożony jest warunek:

x_i \ge 0.

Można więc zapisać:

\begin{align} a_{11} x_1 + a_{12} x_2 + \cdots a_{1n} x_n &\le b_1\\ a_{21} x_1 + a_{22} x_2 + \cdots a_{2n} x_n &\le b_2\\ \dots\\ a_{m1} x_1 + a_{m2} x_2 + \cdots a_{mn} x_n &\le b_m \end{align}\;

x_1,x_2,\ldots,x_n\geq0\;

czyli ograniczenia w postaci standardowej można w sposób ogólny zapisać bardziej zwięźle:

\begin{align} \sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_j&\leq b_i&\quad\textrm{dla}\quad i&=1,\ldots,m\\ x_j &\geq 0&\quad\textrm{dla}\quad j&=1,\ldots,n. \end{align}

Jeszcze zwięźlej ujmuje się to zagadnienie w postaci macierzowej:

Zmaksymalizować funkcję celu z(\mathbf{x})

z(\mathbf{x})=\mathbf{c}^{T}\mathbf{x}

przy ograniczeniach

\begin{align} \mathbf{A}\mathbf{x}\leq \mathbf{b},\\ \mathbf{x}\geq\Theta, \end{align}

gdzie:

\begin{align} \mathbf{c}&=(c_{j})_{j=1,\ldots,n}\in\mathbb{R}^{n},\\ \mathbf{b}&=(b_{i})_{i=1,\ldots,m}\in\mathbb{R}^{m},\\ \mathbf{x}&=(x_{i})_{i=1,\ldots,n}\in\mathbb{R}^{n},\\ \Theta&=(0,\ldots,0)\in\mathbb{R}^{n}\\ \mathbf{A}&=(a_{ij})_{i=1,\ldots,m;j=1,\ldots,n}\in\mathbb{R}^{m\times n}. \end{align}

[edytuj] Sprowadzanie do postaci standardowej

Żeby przekształcić problem do postaci standardowej, zamiany maksymalizacji na minimalizacje, oraz warunków mniejsze-równe, na większe-równe dokonuje się przez zamiane znaków przy współczynnikach. Jeśli mamy warunek:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n = \alpha

To jest on równoważny parze warunków:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n \ge \alpha
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n \le \alpha

Czyli:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n \ge \alpha
-a_1 x_1 + -a_2 x_2 - \cdots a_n x_n \ge -\alpha

Jeśli na zmienną xi nie ma ograniczenia, że musi przyjmować tylko wartości dodatnie, wprowadzamy 2 nowe zmienne x_i^\prime i x_i^{\prime\prime} i zamieniamy wszystkie wystąpienia tej zmiennej na x_i^\prime - x_i^{\prime\prime}. Na obie nowe zmienne możemy już nałożyć ograniczenie, że są one nieujemne.

[edytuj] Postać równościowa

Postać równościowa (kanoniczna) to taka, w której funkcja celu ma być zmaksymalizowana, wszystkie warunki są równościami, a na wszystkie zmienne nakłada się warunek, że są nieujemne.

Żeby pozbyć się nierówności:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n \ge \alpha

Wprowadzamy nową zmienną s, która może przyjmować tylko wartości nieujemne i przekształcamy równanie do postaci:

a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n = \alpha + s
a_1 x_1 + a_2 x_2 + \cdots a_n x_n - s = \alpha

I analogicznie dla mniejsze-równe, z odwróconym znakiem.

Zwykle chcemy przepisać te równania do postaci:

x_i = \alpha_i + \sum_{j=1}^n c_{ij} x_j

Tak, że zmienne występujące po lewej stronie równań nie występują nigdzie indziej (ani po prawej stronie równań, ani w funkcji celu).

Z układem takim wiąże się rozwiązanie podstawowe – takie, w którym wszystkie zmienne oprócz lewostronnych mają przypisaną wartość zero, natomiast wszystkie lewostronne oraz funkcja celu mają wartość równą wartości odpowiednich stałych.

f = 2 − x1 + x2
x4 = 5 + 2x2 − x3
x_5 = -2 - x_1 + \frac 1 2 x_3

Rozwiązaniem podstawowym tego układu jest (0, 0, 0, 5, -2), i wartością funkcji celu jest 2.

Rozwiązanie podstawowe nie zawsze musi spełniać wszystkie warunki nieujemności (w tym przypadku niespełniony jest warunek na x5). Przekształcenie równania, które zachowuje zbiór prawidłowych rozwiązań może zmieniać nam rozwiązanie podstawowe – taka jest zresztą idea podstawowego algorytmu programowania liniowego, algorytmu sympleksu.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne


Prezydent Kaczyński nazwany homofobem
Prezydent Kaczyński został napiętnowany przez Human Rights Watch, organizację broniącą praw człowieka, "za odmawianie ludziom szacunku dla ich rodzin". Bezpośrednim powodem było słynne orędzie z gejowską parą małżeńską.
Nowe wstrzÄ…sy w Chinach
O nowych wstrząsach w południowo zachodnich Chinach poinformowało w sobotę amerykańskie centrum geologiczne (USGS). Trzęsienie o sile 6,1 w skali Richtera nastąpiło na granicy prowincji Syczuan i Gansu.
Pijany rosyjski statek na mieliźnie
Na mieliznę lub na podwodne skały wpłynął na Bałtyku koło Bornholmu rosyjski statek do transportu odpadów atomowych. Kapitana jednostki zatrzymano; policja podejrzewa, że był pod wpływem alkoholu, podobnie jak inni członkowie załogi.
ÅšWIAT 24/7
Tragiczne trzęsienie ziemi w Chinach, wybory parlamentarne w Serbii i 60. lecie Państwa Izrael, to najważniejsze tematy, o których pisaliśmy w zeszłym tygodniu w tvn24.pl
Ostatni Kennedy trafił do szpitala
Senator Edward Kennedy z objawami udaru trafił w sobotę do szpitala w Bostonie w stanie Massachusetts - poinformowała agencja Reutera powołując się na doniesienia telewizji CNN.
Linki: Strona g³ówna