Pochodna funkcji

Z Wikipedii

Spis treści

1 Definicja formalna
- 1.1 Przykład
2 Interpretacja geometryczna
3 Różniczkowalność w zbiorze
4 Druga i dalsze pochodne
- 4.1 n-krotna różniczkowalność
- 4.2 Klasa Cⁿ
5 Własności
- 5.1 Podstawowe wzory
- 5.2 Pochodne funkcji elementarnych
6 Zastosowania
7 Zobacz też
8 Linki zewnętrzne

Pochodna funkcji – w analizie matematycznej, narzędzie służące do badania przebiegu zmienności wartości funkcji, określonej na pewnym przedziale o wartościach rzeczywistych, przy zmianie jej argumentów. Z punktu widzenia analizy funkcjonalnej, pochodna jest operatorem liniowym. Pojęcie pochodnej było uogólniane, na przykład na przestrzenie unormowane. Proces odnajdywania pochodnej nazywamy różniczkowaniem, a dział matematyki zajmujący się pochodnymi, ich własnościami i zastosowaniami rachunkiem różniczkowym.

[edytuj] Definicja formalna

Niech $U\subset \mathbb{R}$ będzie przedziałem otwartym i funkcja $f\colon U \to \mathbb{R}$ .

Jeśli dla pewnego $x_0 \in U$ istnieje skończona granica ilorazu różnicowego

$\lim_{x \to x_0}~{f(x)-f(x_0) \over x-x_0} \left(= \lim_{h \to 0}~{f(x_0+h)-f(x_0) \over h}\right)$ ,

to mówimy, że $f$ jest różniczkowalna w punkcie $x 0$ . Z kolei punkt $x_0 \in U$ nazywamy punktem różniczkowalności funkcji $f$ .

Wartość powyższej granicy nazywamy pochodną funkcji $f$ w punkcie $x 0$ i oznaczamy symbolem $f^\prime(x_0)$ . Czasem używa się też symboli:

${df(x_0) \over dx}, {df \over dx}(x_0), f'_x(x_0), Df(x_0), D_x f(x_0)$

Istnieją również inne oznaczenia.

[edytuj] Przykład

W oparciu o definicję wyznaczymy pochodną funkcji potęgowej w dowolnym punkcie $x\in\mathbb{R}$ .

$\begin{align} f'(x) & = \lim_{h\to 0}~{(x+h)^n - x^n \over h} = \\ & = \lim_{h\to 0}~{x^n + {n \choose 1} x^{n-1}h + {n \choose 2} x^{n-2} h^2 + {n \choose 3} x^{n-3}h^3 + \ldots + h^n - x^n \over h} = \\ & = \lim_{h\to 0}~\left(nx^{n-1} + {n \choose 2} x^{n-2}h + {n \choose 3} x^{n-3}h^2 + \ldots + h^{n-1}\right) = \\ & = nx^{n-1} \end{align}$

[edytuj] Interpretacja geometryczna

Z punktu widzenia geometrii, różniczkowalność $f$ w punkcie $x$ oznacza istnienie stycznej do wykresu $f$ w punkcie $\left(x, f(x)\right)$ nierównoległej do osi $O Y$ , zaś wartość $f'(x)$ jest współczynnikiem kierunkowym tej prostej (w prostokątnym układzie współrzędnych tangensem jej kąta nachylenia do osi $O X$ ).

Pochodną funkcji na przedziale można uważać za liczbową charakterystykę szybkości wzrostu danej funkcji (duża pochodna – stromy wykres, niewielka pochodna – wykres łagodnie wznoszący się, ujemna pochodna – wykres opadający itp.).

[edytuj] Różniczkowalność w zbiorze

Jeśli dziedziną funkcji $f$ jest zbiór otwarty $U$ i jeśli $f$ ma pochodną we wszystkich punktach tego przedziału, to $f$ nazywamy funkcją różniczkowalną na zbiorze $U$ , a funkcję $f^\prime$ , która każdej liczbie $x \in U$ przyporządkowuje liczbę $f'(x)$ , nazywa się funkcją pochodnej (lub krócej pochodną) funkcji $f$ na tym zbiorze.

Tak więc pochodna funkcji w punkcie jest liczbą, natomiast pochodna funkcji w zbiorze jest funkcją.

Gdy funkcja opisuje pewien proces fizyczny, pochodna funkcji charakteryzuje intensywność tego procesu. Na przykład, jeśli $f$ jest funkcją drogi od czasu, to $f^{\prime}$ jest prędkością (chwilową). Jeśli $f$ jest funkcją prędkości od czasu, to $f^{\prime}$ jest przyspieszeniem.

[edytuj] Druga i dalsze pochodne

Jeżeli pochodna $f'$ funkcji $f$ jest różniczkowalna, czyli sama posiada pochodną, to oznacza się ją przez $f''$ i nazywa drugą pochodną funkcji $f$ .

Podobnie określa się drugą pochodną oraz kolejne. Jednak ze względu na czytelność zapisu apostrofami oznacza się jedynie pochodne do trzeciej włącznie (czasem tylko do drugiej). Dalsze pochodne oznacza się liczbami rzymskimi:

$f',\ f'',\ f''',\ f^{IV},\ f^{V},\ \dots$ ,

albo arabskimi – jednak w celu uniknięcia pomyłki z potęgą jej stopień ujmuje się w nawiasy:

$f',\ f'',\ f^{(3)},\ f^{(4)},\ f^{(5)}\ \ldots\ f^{(n)}.$

Zgodnie z tą konwencją, samą funkcję $f$ oznacza się czasem jako jej własną "pochodną zerową":

$f^{(0)} \equiv f$ .

W równaniach różniczkowych, niższe pochodne oznacza się również kropkami nad funkcją (zmienną w równaniach różniczkowych):

$\dot x = {dx \over d \;\cdot\;}, \ddot x = {d^2 x \over d {\;\cdot\;}^2}$ itp.

Dla funkcji $f (n)$ liczbę $n$ nazywamy rzędem pochodnej.

[edytuj] $n$ -krotna różniczkowalność

O funkcji, która ma drugą pochodną (w punkcie lub w przedziale), mówimy że jest dwukrotnie różniczkowalna (odpowiednio w punkcie lub przedziale). Podobnie dla dalszych pochodnych. Ogólnie, jeżeli funkcja $f$ ma $n$ pochodnych na zbiorze otwartym, to nazywamy ją $n$ -krotnie różniczkowalną na tym zbiorze.

[edytuj] Klasa $C n$

Jeżeli funkcja $f$ w zbiorze otwartym $U$ ma $n$ pochodnych i $n$ -ta pochodna $f (n)$ jest ciągła na $U$ , to $f$ nazywamy funkcją klasy $C n$ .

[edytuj] Własności

Pochodna funkcji stałej równa jest zeru.
Funkcja różniczkowalna w $x 0$ jest w tym punkcie ciągła.

[edytuj] Podstawowe wzory

Niech $f,\; g,\; h$ będą różniczkowalne na zbiorze otwartym $U\;$ , zaś $c\;$ będzie ustalonym skalarem (tzw. stałą). Zachodzą wtedy poniższe wzory:

Funkcja	Pochodna
$f \pm g$	$f' \pm g'$
$c \cdot f$	$c \cdot f'$
$f \cdot g$	$f' \cdot g + f \cdot g'$
$f \cdot g \cdot h$	$f' \cdot g \cdot h + f \cdot g' \cdot h + f \cdot g \cdot h'$
${f \over g}$	${{f' \cdot g - f \cdot g'} \over g^2}\quad ^{1)}$
$g \circ f = g(f)$	$(g^{\prime} \circ f) \cdot f' = g'(f) \cdot f'\quad ^{2)}$
$\left.\ln f\right.$	$f' \over f$
$\quad f^c$	$c \cdot f^{c-1} \cdot f'$
$\quad f^g$	$f^g \left({f'g \over f} + g'\ln f \right)\quad ^{3)}$

$1)$ Iloraz jest funkcją różniczkowalną w zbiorze $\{x \in U: g(x) \neq 0\}$ .
$2)$ W tym wypadku zakładamy, że $f$ jest różniczkowalna na $U$ oraz $g$ jest różniczkowalna na $f (U)$ .
$3)$ $\quad f > 0$

Pojęcie pochodnej wprowadzane jest nie tylko dla funkcji o argumentach i wartościach rzeczywistych.

[edytuj] Pochodne funkcji elementarnych

Funkcja	Pochodna	Uwagi
$c$	$0$	$c \in \mathbb R$
$x$	$1$
$x n$	$n x n - 1$	$n \in \mathbb R \setminus \{0,\,1\}$
$a x + b$	$a$
$a x 2 + b x + c$	$2 a x + b$
$a \over x$	$-a \over x^2$	$x \ne 0$
$sin x$	$cos x$
$cos x$	$- sin x$
$\operatorname{tg} x$	$1 \over cos^2 x$	$x \ne {\pi \over 2}+k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$\operatorname{ctg} x$	$-{1 \over \sin^2 x}$	$x\not=k\pi,\; k \in \mathbb Z$
$e x$	$e x$
$a x$	$a x ln a$	$a > 0$
$x x$	$x x (1 + ln x)$
$ln x$	$1 \over x$	$x > 0$
$log a x$	$1 \over x\ln a$
$\operatorname{arcsin} x$	$1 \over \sqrt {1 - x^2}$	$\| x \| < 1$
$\operatorname{arccos} x$	$-1 \over \sqrt{1 - x^2}$	$\| x \| < 1$
$\operatorname{arctg} x$	$1 \over 1 + x^2$
$\operatorname{arcctg} x$	$-1 \over 1 + x^2$
$\sqrt x$	$1 \over 2 \sqrt x$	$x > 0$
$\sqrt[n] x$	$1 \over n \sqrt[n]{x^{n-1}}$	$x > 0$
$\operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}$	$\operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}$
$\operatorname{cosh}x = {{e^x + e^{-x}} \over 2}$	$\operatorname{sinh}x = {{e^x - e^{-x}} \over 2}$
$\operatorname{tgh}x = {\operatorname{sinh}x \over \operatorname{cosh}x}$	${1 \over \operatorname{cosh}^2x} = {4 \over ({e^x + e^{-x}})^2}$
$\operatorname{artgh}x = {1 \over 2}\ln {1+x \over 1-x}$	$1 \over 1-x^2$	$\| x \| < 1$
$\operatorname{arctgh}x = {1 \over 2}\ln {x+1 \over x-1}$	$-1 \over 1-x^2$	$\|x\|>1 \;$
$\ln (x+\sqrt{x^2 \pm a^2})$	$1 \over \sqrt{x^2 \pm a^2}$

[edytuj] Zastosowania

Pochodne funkcji mają szerokie zastosowanie w wielu dziedzinach. Badając pewne nieskomplikowane obliczeniowo własności pochodnej otrzymać można informacje o bardziej złożonych własnościach funkcji pierwotnej. Przykładami mogą być:

matematyka
- monotoniczność funkcji – jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości dodatnie, to funkcja w tym przedziale jest rosnąca, z kolei jeżeli w danym przedziale pochodna funkcji poza skończoną liczbą punktów przyjmuje wartości ujemne, to funkcja w tym przedziale jest malejąca, podobnie, jeśli pochodna w przedziale przyjmuje wartości nieujemne, funkcja jest w przedziale niemalejąca, a jeśli niedodatnie - nierosnąca,
- punkt, w którym pochodna zmienia znak jest punktem krytycznym funkcji,
- wypukłość funkcji – o ile w danym przedziale istnieje druga pochodna i jest ona dodatnia, to funkcja jest wypukła ("wypukła w dół"), gdy jest ujemna, to funkcja jest wklęsła ("wypukła w górę"),
- pierwiastki wielokrotne wielomianu bada się za pomocą miejsc zerowych kolejnych pochodnych (sprawdzenie dany punkt jest punktem przegięcia, czy ekstremum lokalnym),
inne dziedziny
- w fizyce, jeśli funkcja wyraża położenie w zależności od czasu, to jej pochodna jest prędkością chwilową. Druga pochodna położenia (pierwsza pochodna prędkości) jest przyspieszeniem, trzecia natomiast to zryw,
- w ekonomii, np. jeśli funkcja wyraża koszt w zależności od wielkości produkcji, to jej pochodna jest kosztem marginalnym (krańcowym).

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne

Kalkulator on-line — oblicza pochodne wg zapisu $(sin(x))'$ oznacza pochodna z $sin(x)$ ,
Profesjonalny internetowy kalkulator pochodnych, strona po angielsku.

USG pomaga przewidzieć zawał

Badania ultrasonograficzne mogą pomóc w zidentyfikowaniu osób szczególnie zagrożonych zawałem serca i innymi chorobami układu sercowo-naczyniowego - informuje pismo "Radiology".

Odkryto głowę kolosalnego posągu cesarzowej

Archeolodzy odkryli w południowo-zachodniej Turcji głowę wielkiego marmurowego posągu, przedstawiającego postać Faustyny Starszej, żony rzymskiego cesarza Antoninusa Piusa - donosi serwis internetowy BBC News.

Krew menstruacyjna może leczyć miażdżycę

Komórki pozyskiwane z krwi menstruacyjnej mogą być wykorzystane do leczenia zaawansowanej miażdżycy tętnic obwodowych - informuje serwis "EurekAlert".

Kolor tłuszczu ma znaczenie

Tłuszcz jest bliżej związany z tkanką mięśniową niż nam się wydaje - przekonują w swoich pracach opublikowanych na łamach pisma "Nature" dwie grupy naukowców z USA. Badacze odkryli czynniki regulujące powstawanie tkanki tłuszczowej, a ich prace mogą pomóc w opracowaniu terapii do walki z otyłością.

Bakterie zdolne do altruistycznego samobójstwa

Niektóre bakterie salmonelli, aby ułatwić swoim towarzyszkom zakażenie jakiegoś organizmu, zdolne są do poświęcenia życia - podało brytyjskie czasopismo "Nature".

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia