Z Wikipedii

Równanie Einsteina to równanie pola ogólnej teorii względności.

Równanie Einsteina zwane czasem równaniem pola grawitacyjnego ma następującą postać:

gdzie: R_μν - tensor krzywizny Ricciego, R - skalar krzywizny Ricciego, g_μν - tensor metryczny, Λ - stała kosmologiczna, T_μν - tensor energii-pędu, π - liczba pi, c - prędkość światła w próżni, G - stała grawitacji. Natomiast g_μν opisuje metrykę rozmaitości i jest tensorem symetrycznym 4 x 4, ma więc 10 niezależnych składowych.

Jest to równanie tensorowe, jednak rozbijając tensor na składowe można otrzymać z niego układ równań liczbowych. Biorąc pod uwagę dowolność przy wyborze czterech współrzędnych czasoprzestrzennych, liczba niezależnych równań wynosi 6.

Powyższa postać równania przedstawiona jest przy użyciu konwencji znaków tensora metrycznego (+---) stosowanej często w polskiej literaturze. Konwencja ta nie jest jedyną możliwą. Spotyka się czasem (np. w angielskiej wikipedii) zapis przy użyciu alternatywnej konwencji (-+++), co prowadzi do zmiany znaku prawej strony równania.

Równanie Einsteina można rozumieć jako równanie na tensor metryczny g_μν który jest określony poprzez rozkład materii i energii zawarty w tensorze energii-pędu. Pomimo z pozoru prostego wyglądu równanie Einsteina jest bardzo skomplikowane. Spowodowane jest to złożoną i nieliniową zależnością tensora i skalara krzywizny Ricciego od tensora metrycznego. W konsekwencji równanie Einsteina zostało rozwiązane jedynie w nielicznych przypadkach - np. dla układów o sferycznie-symetrycznym rozkładzie masy (np. metryka Schwarzschilda).

W zastosowaniach astrofizycznych (ale nie kosmologicznych) stałą kosmologiczną można zaniedbać. Równanie Einsteina bez stałej kosmologicznej można zapisać w bardziej zwartej postaci definiując tensor Einsteina:

który jest symetrycznym tensorem drugiego rzędu będącym funkcją tensora metrycznego g_μν. Przechodząc do jednostek geometrycznych, gdzie G = c = 1, otrzymamy równanie Einsteina w postaci:

G_μν = − 8πT_μν.

Lewa strona równania reprezentuje krzywiznę czasoprzestrzeni określoną tensorem metrycznym. Prawa strona natomiast opisuje materię i energię wypełniającą czasoprzestrzeń. Tak więc pomimo złożonej szczegółowej formy matematycznej fundamentalne znaczenie równania Einsteina można zamknąć w stwierdzeniu: rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni wprost i jednoznacznie określa jej krzywiznę.

Rozkład materii i energii w czasoprzestrzeni opisywana jest przez tensor energii-pędu. Każda z jego składowych określa strumień pędu na jednostkę objętości przestrzeni. Składowa 0,0 oznacza np. gęstość masy. W zastosowaniach kosmologicznych można przyjąć przybliżony wzór:

T_μν = (ε + P)u_μu_ν − g_μνP

gdzie u jest wektorem jednostkowym u_μu^μ = 1, ε jest przestrzennym rozkładem energii a P rozkładem ciśnienia.

Wraz z równaniem geodezyjnych, równanie Einsteina stanowi podstawę matematycznego sformułowania Ogólnej Teorii Względności.

[edytuj] Nieliniowość równania

Równanie Einsteina jest układem 10 sprzężonych równań eliptyczno-hiperbolicznych na składowe tensora metrycznego. Nieliniowość równań odróżnia ogólną teorię względności od innych współczesnych teorii fizycznych. Na przykład równania Maxwella są liniowe tak w polach magnetycznych jak i elektrycznych oraz w rozkładach prądów i ładunków. Podobnie równanie Schrödingera mechaniki kwantowej jest liniowe w funkcji falowej co oznacza, że suma rozwiązań jest także rozwiązaniem.

[edytuj] Rozwiązania w próżni

Pamiętając, że R = g^μνR_μν równanie Einsteina można wysumawać z g^μν, otrzymujemy:

− R + 4Λ = − κT

gdzie T = g^μνT_μν jest śladem tensora energii-pędu. W próżni gdy ε = 0 i P = 0 rozwiązaniem równań Einsteina jest przestrzeń Ricci płaska (R_μν = 0 (gdy Λ = 0), np. przestrzeń Minkowskiego ale również rozwiązanie z metryką Karla Schwarzschilda). Gdy stała kosmologiczna jest różna od zera nawet w próżni czasoprzestrzeń ma stałą krzywiznę R = 4Λ (Wszechświat de Sittera). Podobnie będzie, gdy materia posiada znikający ślad tensora energii-pędu T. Taką własność ma materia ultrarelatywistyczna (gdy masa m->0, wtedy równanie stanu daje P = ε / 3, przykładem jest gaz fotonowy).

[edytuj] Materiały zewnętrzne

• The Meaning of Einstein's Equation, John C. Baez, Emory F. Bunn, Amer. Jour. Phys. 73 (2005), 644-652 (w jÄ™zyku angielskim)