Równanie Bernoulliego

Z Wikipedii

Równanie Bernoulliego - jedno z podstawowych równań hydrodynamiki płynów idealnych, sformułowane przez Daniela Bernoulliego w I połowie XVIII wieku.

Równanie Bernoulliego opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Równanie Bernoulliego wynika z zasady zachowania energii i według intencji jego autora stanowić powinno jej zapis za pomocą parametrów hydrodynamicznych (p. zastrzeżenia podane poniżej w Uwagach dotyczących zastosowania równania Bernoulliego).

Równanie Bernoulliego stanowi całkę bardziej ogólnego hydrodynamicznego równania Eulera.

Spis treści

1 Szczególna postać równania
2 Ogólna postać równania
3 Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego
4 Zastosowanie równania Bernoulliego
5 Uwagi dotyczące stosowania równania Bernoulliego
6 Literatura

[edytuj] Szczególna postać równania

Założenia:

ciecz jest nieściśliwa
ciecz nie jest lepka
przepływ jest stacjonarny i bezwirowy

Przy powyższych założeniach równanie przyjmuje postać:

${e_m} = {v^2 \over 2}+gh+{p \over \varrho}=\mathrm{const.}$

gdzie:

$\; e_m \;$ - energia jednostki masy płynu,
$\; \varrho \;$ - gęstość płynu,
$\; v \;$ - prędkość płynu w rozpatrywanym miejscu,
$\; h \;$ - wysokość w układzie odniesienia, w którym liczona jest energia potencjalna,
$\; g \;$ - przyspieszenie grawitacyjne,
$\; p \;$ - ciśnienie płynu w rozpatrywanym miejscu.

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna grawitacji, energia ciśnienia.

Energia jest stała tylko wówczas, kiedy element porusza się wzdłuż linii prądu. W rozważanym przypadku zapewnia to stacjonarność przepływu. Istnienie lepkości lub przepływu wirowego rozprasza energię, ściśliwość zmienia zależność prędkości przepływu od ciśnienia. Niestacjonarność przepływu wiąże się z dodatkowym ciśnieniem rozpędzającym lub hamującym ciecz.

[edytuj] Ogólna postać równania

Równanie Bernoulliego może być z pewną dokładnością stosowane także dla idealnych płynów ściśliwych ale tylko typu barotropowego. Opracowano również wersję równania dla płynów uwzględniającą zmianę energii wewnętrznej płynu w wyniku różnych czynników. Równanie to w ogólności ma postać:

${v^2 \over 2}+ \phi + w =\mathrm{const}$

Gdzie:

$\; \Phi \;$ - energia potencjalna jednostki masy, której w warunkach ziemskich odpowiada $\; \Phi = gh \;$
$\; w \;$ - entalpia przypadająca na jednostkę masy (entalpia właściwa)

$\; w = \epsilon + p / \varrho \;$

przy czym $\; \epsilon \;$ - energia wewnętrzna płynu.

Uwzględniając właściwości gazów można przekształcić to równanie tak, by było spełnione także dla gazów. Choć pierwotne równanie Bernoulliego nie jest spełnione dla gazów, to ogólne wnioski płynące z niego mogą być stosowane również dla nich.

[edytuj] Praktyczne wykorzystanie równania Bernoulliego

Z równania Bernoulliego dla sytuacji przedstawionej na rysunku zachodzi prawidłowość:

${v_1^2 \over 2}+gh_1+{p_1 \over \varrho}={v_2^2 \over 2}+gh_2+{p_2 \over \varrho}$

Jeżeli zaniedbać zmianę wysokości odcinków rury, to wzór upraszcza się do:

${v_1^2 \over 2} + {p_1 \over \varrho} = {v_2^2 \over 2} + {p_2 \over \varrho}$

W rurze o mniejszym przekroju ciecz płynie szybciej ( $\; v_1 > v_2 \;$ ), w związku z tym panuje w niej mniejsze ciśnienie niż w rurze o większym przekroju.

Ciecz płynąc w rurze o zmieniającym się przekroju ma mniejsze ciśnienie na odcinku, gdzie przekrój jest mniejszy.

Podana wyżej własność cieczy była znana przed sformułowaniem równania przez Bernoulliego i nie potrafiono jej wytłumaczyć, stwierdzenie to i obecnie kłóci się ze "zdrowym rozsądkiem" wielu ludzi i dlatego znane jest pod nazwą paradoks hydrodynamiczny.

A także: Ciecz opływając ciało zanurzone w cieczy wywołuje mniejsze ciśnienie od strony gdzie droga przepływu jest dłuższa.

[edytuj] Zastosowanie równania Bernoulliego

Równaniem Bernoulliego opisuje wiele na co dzień obserwowanych zjawisk, zależności, a także zasad działania licznych urządzeń technicznych:

paradoks hydrodynamiczny
zjawisko zrywania dachów, gdy wieje silny wiatr
zasada działania sondy Pitota
zasada działania Rurki Prandtla
zasada działania zwężki Venturiego
zasada działania palnika Bunsena
pośrednio zasady powstawania siły nośnej w skrzydle samolotu
pośrednio w powstawaniu efektu Magnusa
przyczyna osiadania statków w ruchu na płytkim akwenie.

[edytuj] Uwagi dotyczące stosowania równania Bernoulliego

Równanie Bernoulliego nie uwzględnia tarcia wewnętrznego w płynie przejawiającego się w postaci lepkości, a tym samym nie odzwierciedla poprawnie zasady zachowania energii, którą miało reprezentować w intencji jego autora. Dlatego też równanie Bernoulliego stosować można jedynie w sytuacjach, w których efekty związane z lepkością płynu nie odgrywają istotnej roli. W przeciwnym przypadku bezpośrednie stosowanie równania Bernoulliego prowadzi do paradoksów lub wyników w drastyczny sposób sprzecznych z doświadczeniem. Przykładem jest paradoks przepływu w rurze o stałym przekroju, zgodnie z którym, w przepływającym w rurze płynie, nie następuje spadek ciśnienia, czemu przeczą wszelkie obserwacje doświadczalne.

[edytuj] Literatura

Bukowski J.: Mechanika Płynów, PWN, Warszawa, (1968).
Lamb W.: Hydrodynamics, Cambridge University Press, Cambridge.
Prosnak W.: Mechanika Płynów, t. 1, 2, Warszawa.

ATP w Wiedniu: Petzschner najlepszy

Niemiecki tenisista Philipp Petzschner pokonał rozstawionego z numerem osiem Francuza Gaela Monfilsa 6:4, 6:4 w finale turnieju w Wiedniu (suma nagród 674 tys. euro).

PE: Górnik ratuje remis w derbach Śląska

Górnik Zabrze zremisował z Ruchem Chorzów 1:1 (0:1) w derbach Śląska rozegranych w ramach 4. kolejki Pucharu Ekstraklasy.

MŚ w futsalu: Brazylia i Hiszpania w półfinale

Zawodnicy Brazylii pokonali Włochów 3:0 w futsalowych mistrzostwach świata i dzięki tej wygranej "Canarinhos" awansowali do półfinału.

PLH: kolejna porażka mistrza Polski

W meczu 15. kolejki PLH Naprzód Janów pokonał mistrza Polski Cracovię Kraków 4:1 (2:1, 1:0, 1:0).

LM: mistrz Polski "na deskach"

Piłkarze ręczni Wisły Płock przegrali z chorwackim Croatia Osiguranje Zagrzeb 17:34 (7:15) w drugiej kolejce grupy H Ligi Mistrzów.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia