Równanie czwartego stopnia

Z Wikipedii

Równanie czwartego stopnia – równanie algebraiczne postaci $ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\quad$ gdzie $a\neq0$ .

Spis treści

1 Rys historyczny
2 Najprostsze typy równań
- 2.1 Równanie dwukwadratowe
- 2.2 Równanie zwrotne
3 Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego
4 Rozwiązywanie równania zredukowanego
5 Źródła
6 Zobacz też

[edytuj] Rys historyczny

W 1540 Lodovico Ferrari odkrył ogólną metodę redukcji równań czwartego stopnia do równań sześciennych. Razem z metodą rozwiązywania tych ostatnich opracowaną wcześniej przez Scipione del Ferro i Niccolo Tartaglię pozwało to rozwiązać wszystkie typy równań stopnia 4. Wyniki te zostały opublikowane przez Girolamo Cardano w Ars Magna w 1545.

[edytuj] Najprostsze typy równań

W pewnych przypadkach równanie

$(\circledast)\qquad ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\quad$

może być rozwiązane przy użyciu bardzo elementarnych metod.

[edytuj] Równanie dwukwadratowe

Jeśli $b=d=0\quad$ , czyli gdy $(\circledast)$ jest postaci

$(\circledast)_1\qquad ax^{4}+cx^{2}+e=0\quad$

to równanie to nazywamy równaniem dwukwadratowym. Aby je rozwiązać, wystarczy podstawić $t = x 2$ . Wówczas otrzymujemy równanie kwadratowe $a t 2 + c t + e = 0$ które rozwiązujemy używając formuły kwadratowej.

[edytuj] Równanie zwrotne

Jeśli $b=d\quad$ oraz $a=e\quad$ , czyli gdy $(\circledast)$ jest postaci

$(\circledast)_2\qquad ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+bx+a=0\quad$

to równanie jest równaniem zwrotnym. Rozwiązujemy je dzieląc obie strony równania przez $x 2$ i otrzymując

a (x 2 + x - 2) + b (x + x - 1) + c = 0

Podstawiając $y = x + x - 1$ mamy $x 2 + x - 2 = y 2 - 2$ i otrzymujemy równanie kwadratowe

a (y 2 - 2) + b y + c = 0

z którego możemy obliczyć $y$ a potem możemy wyznaczyć $x$ .

[edytuj] Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego

Wykażemy teraz, że równanie $(\circledast)$ może być zredukowane do równania postaci

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0$ .

Wychodząc z równania $(\circledast)$ dzielimy obie strony przez $a$ , otrzymując:

(i) $x^{4}+\frac{b}{a}x^{3}+\frac{c}{a}x^{2}+\frac{d}{a}x+\frac{e}{a}=0\quad$

Następnie stosujemy podstawienie $x=u-\frac{b}{4a}$ prowadzące do:

(ii) $\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{4}+\frac{b}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{3}+\frac{c}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)^{2}+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{e}{a}=0\quad$ .

Po wymnożeniu dostajemy:

(iii) $\left(u^4-\frac{b}{a}u^3+\frac{6b^2}{16a^2}u^2-\frac{4b^3}{64a^3}u+\frac{b^4}{256a^4}\right)+$

$\frac{b}{a}\left(u^3-\frac{3b}{4a}u^2+\frac{3b^2}{16a^2}u-\frac{b^3}{64a^3}\right)+\frac{c}{a}\left(u^2-\frac{b}{2a}u+\frac{b^2}{16a^2}\right)+\frac{d}{a}\left(u-\frac{b}{4a}\right)+\frac{e}{a}=0\cdot$

a po poszeregowaniu zmiennych, wedle wykładników potęgowych równanie przybiera postać:

(iv) $u^{4}+\left(\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}\right) u^{2}+\left(\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}\right)u+\left(\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a}\right)=0$

Oznaczamy teraz

$p=\frac{-3b^2}{8a^2}+\frac{c}{a}$

$q=\frac{b^3}{8a^3}-\frac{bc}{2a^2}+\frac{d}{a}$

$r=\frac{-3b^4}{256a^4}+\frac{cb^2}{16a^3}-\frac{bd}{4a^2}+\frac{e}{a}$

i równanie $(\circledast)$ zostało sprowadzone do postaci:

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0$ .

[edytuj] Rozwiązywanie równania zredukowanego

Omówimy teraz metodę rozwiązywania równań postaci

$(\heartsuit)\qquad u^4+pu^2+qu+r=0$ .

Jeśli $q=0\quad$ wtedy równanie jest równaniem dwukwadratowym omawianym wcześniej. Jeśli nie, to stosujemy procedurę opisaną w tej sekcji.

Zwróćmy uwagę, że jeśli znajdziemy jeden pierwiastek $u 0$ równania $(\heartsuit)$ , to możemy na mocy tzw twierdzenia Bézout możemy podzielić wielomian $u 4 + p u 2 + q u + r$ przez $u - u 0$ , redukując nasze równanie do równania trzeciego stopnia. Rozwiązując to równanie możemy znaleźć wszystkie rozwiązania równania $(\heartsuit)$ . Poniżej najpierw przedstawimy metodę znajdywania jednego pierwiastka naszego równania, a pózniej bardziej szczegółowo opiszemy sposób na znajdywanie wszystkich rozwiązań tego równania.

[edytuj] Jak znaleźć jeden pierwiastek

Wprowadźmy na jakiś czas trzy dodatkowe zmienne $t, v, w$ wymagając że spełniają one równanie

t + v + w = 2 u

Wówczas

t 2 + v 2 + w 2 + 2(t v + t w + v w) = 4 u 2

, a stąd

$\left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4\left(t^2+v^2+w^2\right)\left(tv+tw+vw\right)+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+8tvw\left(t+v+w\right)=16u^4$ .

Mnożąc obie strony $(\heartsuit)$ przez 16 i podstawiając wyrażenia na $u, u 2, u 4$ dane przez powyższe równania otrzymujemy następujące równanie:

$(\clubsuit)\qquad \left(t^2+v^2+w^2\right)^2+4p\left(t^2+v^2+w^2\right)+4\left(tv+tw+vw\right)\left(t^2+v^2+w^2+2p\right)+$

$+4\left(t^2v^2+t^2w^2+v^2w^2\right)+8\left(t+v+w\right)\left(tvw+q\right)+16r=0$

Zwróćmy uwagę, że każda trójka liczb $t, v, w$ spełniająca równanie $(\clubsuit)$ da nam rozwiązanie $u$ równania $(\heartsuit)$ . Nietrudno jest spostrzec, że jeśli liczby $t, v, w$ spełniają równania

(a)

t v w = - q

,

(b)

t 2 + v 2 + w 2 = - 2 p

,

(c)

t 2 v 2 + t 2 w 2 + v 2 w 2 = p 2 - 4 r

,

to spełniają one również równanie $(\clubsuit)$ . Jeśli równanie (a) przekształcimy do

(d)

t 2 v 2 w 2 = q 2

,

to układ równań (b)-(d) może być interpretowany jako wzory Viète'a dla pewnego równania sześciennego. Używając metod na rozwiązywanie równań trzeciego stopnia znajdujemy pierwiastki $z 1, z 2, z 3$ tak zwanego równania rozwiązującego:

$(\otimes)\qquad z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0$ .

Niech

$t$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z 1$ ,
$v$ będzie jednym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z 2$ , a
$w$ będzie tym z dwóch pierwiastków kwadratowych z liczby $z_3\quad$ , przy którym będzie spełnione równanie (a) powyżej.

(Ponieważ $q\neq 0$ , to $z_3\neq 0$ i liczba ta ma dwa różne pierwiastki różniące się znakiem). Wówczas liczby $t,v,w\quad$ spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie $(\clubsuit)$ . Otrzymujemy więc rozwiązanie równania $(\heartsuit)$ :

$u_0=\frac{t+v+w}{2}$ .

[edytuj] Jak znaleźć wszystkie pierwiastki

Rozważmy równanie rozwiązujące

$(\otimes)\qquad z^3+2pz^2+(p^2-4r)z-q^2=0$

i oznaczmy jego pierwiastki jako $z 1, z 2, z 3$ . Następnie wyznaczamy liczby $t 1, v 1, w 1$ tak że $t 2 = z 1$ , $v 2 = z 2,$ , $w 2 = z 3$ oraz $t v w = - q$ . Wówczas liczby $t 1, v 1, w 1$ spełniają równania (a)-(c), a zatem również równanie $(\clubsuit)$ . Mamy więc

$t_1^2+v_1^2+w_1^2=-2p$ oraz $t^2_1v^2_1+t^2_1w^2_1+v^2_1w^2_1=p^2-4r$

a stąd

$(\boxplus)\qquad t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right)=\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)^2-4\left(t_1^2w_1^2+t_1^2w_1^2+v_1^2w_1^2\right)=4p^2-4\left(p^2-4r\right)=16r.$

Teraz zauważmy, że

$\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right)=\quad$

$=\left[\left(2u-t_1\right)^2-\left(v_1+w_1\right)^2\right]\left[\left(2u+t_1\right)^2-\left(v_1-w_1\right)^2\right]=\quad$

$=\left(4u^2-t_1^2\right)^2-\left(2u-t_1\right)^2\left(v_1-w_1\right)^2-\left(2u+t_1\right)^2\left(v_1+w_1\right)^2+\left(v_1^2-w_1^2\right)^2=$

$=16u^4-8u^2\left(t_1^2+v_1^2+w_1^2\right)-16ut_1v_1w_1+t_1^4+v_1^4+w_1^4-2\left(t_1^2w_1^2+t_1^2v_1^2+v_1^2w_1^2\right)=$

= 16(u 4 + p u 2 + q u + r)

.

(Dla ostatniej równości używamy równań $(\boxplus)$ oraz $t 1 v 1 w 1 = - q$ .) Otrzymaliśmy więc równanie

$16 (u^4+pu^2+qu+r)=\left(2u-t_1-v_1-w_1\right)\left(2u-t_1+v_1+w_1\right)\left(2u+t_1-v_1+w_1\right)\left(2u+t_1+v_1-w_1\right)$

z którego natychmiast widzimy, że liczby

$u_1=\frac{t_1+v_1+w_1}{2}$ , $u_2=\frac{t_1-v_1-w_1}{2}$

$u_3=\frac{-t_1+v_1-w_1}{2}$ , $u_4=\frac{-t_1-v_1+w_1}{2}$

spełniają równanie $(\heartsuit)$ . Są to wszystkie pierwiastki tego równania.

[edytuj] Obserwacja

Równanie $(\heartsuit)$ ma 4 różne pierwiastki rzeczywiste, wtedy i tylko wtedy gdy równanie $(\otimes)$ ma 3 różne pierwiastki rzeczywiste.

Dowód

Zauważmy, że na mocy naszych równań mamy

$\left(u_1-u_2\right)\left(u_1-u_3\right)\left(u_1-u_4\right)\left(u_2-u_3\right)\left(u_2-u_4\right)\left(u_3-u_4\right)=\left(t_1^2-v_1^2\right)\left(t_1^2-w_1^2\right)\left(v_1^2-w_1^2\right)\quad$

(gdzie, pamiętajmy, $t_1,v_1,w_1\quad$ są pierwiastkami równania $(\otimes)$ ).

[edytuj] Źródła

Sierpiński, Wacław: Zasady algebry wyższej, "Monografie Matematyczne" Tom 11, Rozdział 10. Plik pdf jest dostępny z serwisu Biblioteka Wirtualna Nauki
Równania kwadratowe, sześcienne i czwartego stopnia w serwisie MacTutor History of Mathematics archive (en)
Równania w serwisie matematyka.pl

[edytuj] Zobacz też

ASTD współorganizatorem Międzynarodowego Kongresu Kadry

W dniach 24-27 listopada odbędzie się Międzynarodowy Kongres Kadry - VIII edycja Kongresu Kadry, po raz pierwszy w wydaniu międzynarodowym.

Obrady WTO na razie bez przełomu

W toczących się od poniedziałku rozmowach w Genewie na temat zniesienia barier w światowym handlu w ramach tzw. rundy z Dauhy do soboty nie udało się wypracować porozumienia.

Absurdalne zapisy blokują unijne dotacje

Bardzo dobry projekt może nie dostać dofinansowania, jeżeli np. przedsiębiorca wypełni wniosek... czarnym długopisem. Takie wątpliwe wymogi wymyślają urzędnicy - czytamy w "Rzeczpospolitej".

KE zamroziła ponad 2 mld euro dla Bułgarii

Komisja Europejska zamroziła znacznie więcej środków dla Bułgarii, niż ogłoszone w środę 825 mln euro z przedakcesjnych funduszy ISPA, PHARE i SAPARD - napisał bułgarski dziennk "Sega".

Betacom: 35 proc. zysku na dywidendę?

Zarząd Betacom zamierza wnioskować do Rady Nadzorczej i WZA o przeznaczenie na wypłatę dywidendy około 35 proc. zysku netto za rok obrotowy 2007/08. W kolejnych latach zarząd planuje rekomendować wypłatę dywidendy na poziomie 25-35 proc. zysku - poinformowała spółka w raporcie rocznym.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Równanie czwartego stopnia

Z Wikipedii

Spis treści

[edytuj] Rys historyczny

[edytuj] Najprostsze typy równań

[edytuj] Równanie dwukwadratowe

[edytuj] Równanie zwrotne

[edytuj] Pierwszy etap: redukcja przypadku ogólnego

[edytuj] Rozwiązywanie równania zredukowanego

[edytuj] Jak znaleźć jeden pierwiastek

[edytuj] Jak znaleźć wszystkie pierwiastki

[edytuj] Obserwacja

[edytuj] Źródła

[edytuj] Zobacz też