Rachunek lambda

Z Wikipedii

Rachunek lambda to system formalny używany do badania zagadnień związanych z podstawami matematyki jak rekurencja, definiowalność funkcji, obliczalność, podstawy matematyki np. definicja liczb naturalnych, wartości logicznych, itd. Rachunek lambda został wprowadzony przez Alonzo Churcha i Stephen Cole Kleene w 1930 roku.

Rachunek lambda jest przydatny do badania algorytmów. Wszystkie algorytmy, które dadzą się zapisać w rachunku lambda, dadzą się zaimplementować na maszynie Turinga i odwrotnie.

Istnieje wiele rodzajów rachunku lambda, z czego najprostszym jest rachunek lambda bez typów. Rachunek lambda z typami jest podstawą funkcyjnych języków programowania.

[edytuj] Opis nieformalny

W rachunku lambda każde wyrażenie określa funkcję jednoargumentową. Z kolei argumentem tej funkcji jest również funkcja jednoargumentowa, wartością funkcji jest znów funkcja jednoargumentowa. Funkcja jest definiowana anonimowo przez wyrażenie lambda, które opisuje, co funkcja robi ze swoim argumentem.

Funkcja $f$ zwracająca argument powiększony o dwa, którą można by matematycznie zdefiniować jako $f (x) = x + 2$ , w rachunku lambda ma postać $\lambda\ x\, .\, x + 2$ (nazwa parametru formalnego jest dowolna, więc $x$ można zastąpić inną zmienną). Z kolei wartość funkcji w punkcie, np. $f (3)$ ma zapis $(\lambda\, x\, .\, x + 2)\, 3$ . Warto wspomnieć o tym, że funkcja jest łączna lewostronnie względem argumentu, tzn. $f\, x\, y = (f\, x)\, y$ .

Ponieważ wszystko jest funkcją jednoargumentową, możemy zdefiniować zmienną o wartości zadanej wartości, nazwijmy ją $a$ . Funkcja $a$ jest oczywiście stała, choć nic nie stoi na przeszkodzie, aby była to dowolna inna funkcja. W rachunku lambda $a$ jest dane wzorem $\lambda\, a\, .\, a\, 3$ .

Teraz jesteśmy w stanie dokonać klasycznego otrzymania wartości w punkcie albo też lepiej rzecz ujmując, wykonać złożenie funkcji, mianowicie $f \circ a=f(a)$ . Niech $f$ będzie dana jak poprzednio, wtedy: $(\lambda\,f\,.\,f\, 3) (\lambda\,x\,.\,x + 2)$ i dalej $(\lambda\,x\,.\,x + 2)\, 3$ , a więc otrzymujemy po prostu $3 + 2$ .

Funkcję dwuargumentową można zdefiniować za pomocą techniki zwanej curryingiem, mianowicie jako funkcję jednoargumentową, której wynikiem jest znowu funkcja jednoargumentowa. Rozpatrzmy funkcję $f (x, y) = x - y$ , której zapis w rachunku lambda ma postać $\lambda\, x\, .\, \lambda\, y\, .\, x - y$ . Aby uprościć zapis stosuje się powszechnie konwencję, aby funkcje "curried" zapisywać wg wzoru $\lambda\, x\, y\, .\, x - y$ .

[edytuj] lambda-wyrażenia

Niech $X$ będzie nieskończonym, przeliczalnym zbiorem zmiennych. Lambda-wyrażenie (lambda-term) definiuje się następująco:

Jeżeli $x \in X$ to $x$ jest lambda-wyrażeniem,
Jeżeli $M$ jest lambda wyrażeniem i $x \in X$ , to napis $λ x . M$ jest lambda-wyrażeniem,
Jeżeli $M$ oraz $N$ są lambda wyrażeniami, to napis $(N M)$ jest lambda-wyrażeniem,
Wszystkie lambda-wyrażenia można utworzyć korzystając z powyższych reguł.

Zbiór wszystkich lambda-wyrażeń oznacza się $Λ$ .

Lambda-termy rozpatruje się najczęściej jako klasy abstrakcji relacji alfa-konwersji.

[edytuj] Zmienne wolne

Zbiór zmiennych wolnych definiuje się następująco:

$F V (x) = {x}$
$FV(MN) = FV(M) \cup FV(N)$
$FV(\lambda x . M) = FV(M) \backslash \{x\}$

[edytuj] Logika

Użycie wartości liczbowych do oznaczania wartości logicznych może prowadzić do nieścisłości przy operowaniu relacjami na liczbach, dlatego też należy wyraźnie oddzielić logikę od obiektów, na których ona operuje. Z tego powodu oczywistym staje się fakt, że wartości logiczne prawdy i fałszu muszą być elementami skonstruowanymi z wyrażeń tego rachunku.

Wartościami logicznymi nazwiemy funkcje dwuargumentowe, z których jedna zawsze będzie zwracać pierwszy argument, a druga – drugi:

true (prawda) to $\lambda\;x\;.\;\lambda\;y\;.\;x$ ,
false (fałsz) to $\lambda\;x\;.\;\lambda\;y\;.\;y$ .

Teraz chcąc ukonstytuować operacje logiczne stosujemy nasze ustalone wartości tak, by wyniki tych operacji były zgodne z naszymi oczekiwaniami, mamy:

not (negacja) to $\lambda\;x\;.\;x\;\mbox{false true}$ ,
and (koniunkcja) to $\lambda\;x\;.\;\lambda\;y\;.\;x\;y\;\mbox{false}$ ,
or (alternatywa) to $\lambda\;x\;.\lambda\;y\;.\;x\;\mbox{true}\;y$ .

Rozwiniętą implikację "jeśli $A$ , to $B$ , w przeciwnym razie $C$ " zapisać można jako $A\;B\;C$ , czyli $(A\;B)\;C$ .

[edytuj] Przykład

Obliczmy wartość wyrażenia "prawda i fałsz", czyli w rachunku lambda

$\mbox{and true false} = (\lambda\;x\;y\;.\;x\;y\;\mbox{false})\;\mbox{true}\;\mbox{false} =$ $\mbox{true false false} = (\lambda\;x\;y\;.\;x)\;\mbox{false false}\;=\;\mbox{false}$ ,

czyli "fałsz" zgodnie z naszymi oczekiwaniami.

[edytuj] Struktury danych

Para złożona z Y i Z to λ x . x Y Z Pierwszy element wyciąga się za pomocą PARA PRAWDA, drugi przez PARA FAŁSZ.

Listy można konstruować następującym sposobem:

NIL to $\lambda\;x\;.\;true$
CONS to PARA wartość i lista

następująca funkcja zwraca true jeśli argumentem jest NIL i false jeśli to CONS: $\lambda\;x\;.\;x\;(\lambda\;a\;b\;.\;{false})$

[edytuj] Zobacz też

ASTD współorganizatorem Międzynarodowego Kongresu Kadry

W dniach 24-27 listopada odbędzie się Międzynarodowy Kongres Kadry - VIII edycja Kongresu Kadry, po raz pierwszy w wydaniu międzynarodowym.

Obrady WTO na razie bez przełomu

W toczących się od poniedziałku rozmowach w Genewie na temat zniesienia barier w światowym handlu w ramach tzw. rundy z Dauhy do soboty nie udało się wypracować porozumienia.

Absurdalne zapisy blokują unijne dotacje

Bardzo dobry projekt może nie dostać dofinansowania, jeżeli np. przedsiębiorca wypełni wniosek... czarnym długopisem. Takie wątpliwe wymogi wymyślają urzędnicy - czytamy w "Rzeczpospolitej".

KE zamroziła ponad 2 mld euro dla Bułgarii

Komisja Europejska zamroziła znacznie więcej środków dla Bułgarii, niż ogłoszone w środę 825 mln euro z przedakcesjnych funduszy ISPA, PHARE i SAPARD - napisał bułgarski dziennk "Sega".

Betacom: 35 proc. zysku na dywidendę?

Zarząd Betacom zamierza wnioskować do Rady Nadzorczej i WZA o przeznaczenie na wypłatę dywidendy około 35 proc. zysku netto za rok obrotowy 2007/08. W kolejnych latach zarząd planuje rekomendować wypłatę dywidendy na poziomie 25-35 proc. zysku - poinformowała spółka w raporcie rocznym.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia