Relacja (matematyka) - Google

Relacja (matematyka)

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
 Ten artykuł wymaga dopracowania zgodnie z zaleceniami edycyjnymi.
Należy w nim poprawić: coś o relacjach między wieloma zbiorami, choćby to, że się ich nie rozpatruje :).
Dokładniejsze informacje, co należy poprawić być może znajdziesz na stronie dyskusji tego artykułu.
Po naprawieniu wszystkich błędów można usunąć tę wiadomość.

Spis treści

Relacja – dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego zbiorów. Intuicyjnie, oznacza pewien związek pomiędzy elementami tych zbiorów.

[edytuj] Intuicje

Językiem relacji można opisywać wiele zjawisk życia codziennego. Przyjrzyjmy się społeczności wszystkich Polaków P (relacja na jednym zbiorze) i wprowadźmy pewne zależności.

Niech S będzie relacją między dwoma członkami społeczności P (relacja dwuargumentowa) określoną następująco:

x jest w relacji S z y wtedy i tylko wtedy, gdy x posiada samochód tej samej marki co y.

Relacja S jest:

  • zwrotna, ponieważ osoba x ma samochód tej samej marki co ona sama,
  • symetryczna, gdyż jeśli x ma samochód tej samej marki co y, to oczywiście y ma samochód tej samej marki co x.

Relacja ta pozwala wyróżnić w społeczności grupy osób (podzbiory): posiadaczy Roverów, Fiatów, Syren, itp. Grupy te nie muszą być rozłączne, ta sama osoba może posiadać kilka samochodów różnych marek i wówczas należy do kilku odpowiednich grup. Pozostaje ona wówczas w relacji S z osobami, które mogą nie być ze sobą w relacji S, a więc relacja nie jest przechodnia.

Gdyby jednak każdy członek społeczności posiadał samochody co najwyżej jednej marki, to relacja S byłaby przechodnia i wobec tego byłaby relacją równoważności, czyli wprowadzałaby podział społeczności P ze względu na markę samochodu (podzieliłaby ją na tzw. klasy abstrakcji).

Wprowadźmy inną relację na P:

osoba x jest w relacji F (relacja jednoargumentowa), jeśli posiada Ferrari.

Relacja ta wyróżnia podzbiór Polaków będących posiadaczami Ferrari.

Rozważmy zbiór kobiet X oraz mężczyzn Y będących członkami społeczności P (podział ten można otrzymać dzięki zastosowaniu odpowiedniej relacji równoważności) oraz zbiór M wszystkich marek samochodów. W iloczynie kartezjańskim X \times Y \times M można wprowadzić relację (trójargumentową) T taką, że:

trójka (x,y,s) jest w relacji T wtedy i tylko wtedy, gdy x jest żoną y i małżeństwo to posiada Fiata.

Wówczas żadna samotna osoba nie ma szans "dostać się" do relacji T, dopóki nie znajdzie drugiej "połówki", małżeństwo natomiast – dopóki nie wejdzie w posiadanie Fiata.

[edytuj] Definicja

Niech dane będą dowolne zbiory X_1, X_2, \dots, X_n. Relacją n-członową (n-argumentową, n-arną) nazywamy dowolny podzbiór ich iloczynu kartezjańskiego

\varrho \subseteq X_1 \times X_2 \times \dots \times X_n.

[edytuj] Relacje jednego zbioru

Szczególnym przypadkiem są relacje zawarte w n-tej potędze kartezjańskiej jednego zbioru X, czyli relacje typu \varrho \subseteq X \times X \times \dots \times X = X^n

Jeżeli przez \operatorname{Rel}_n(X) oznaczymy zbiór wszystkich relacji n-członowych w zbiorze X, to moc tego zbioru dana jest wzorem

|\operatorname{Rel}_n(X)| = 2^{|X|^n}

Nad takim relacjami skupimy się w dalszej części artykułu.

[edytuj] Relacje zeroargumentowe

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja pusta, działanie zeroargumentowe.

Pod względem formalnym interesujący jest przypadek tzw. relacji zeroargumentowych, które zawarte są w zbiorze:

X^0 = \{\varnothing\}

Istnieją tylko dwie takie relacje, to jest \varnothing oraz \{\varnothing\}. Są one użyteczne w rozważaniach teoretycznych, ale trudno je zrozumieć intuicyjnie.

[edytuj] Relacje jednoargumentowe

Zobacz więcej w osobnym artykule: działanie zeroargumentowe.

Częściej używanymi relacjami są relacje jednoargumentowe (jednoczłonowe, unarne), czyli podzbiory zbioru X. Zwykle rola takiej relacji sprowadza się do wskazania pewnego podzbioru lub elementu należącego do zbioru X.

[edytuj] Przykłady

W zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb R relacjami jednoargumentowymi są:

[edytuj] Relacje dwuargumentowe

Zobacz więcej w osobnych artykułach: funkcja (matematyka), działanie jednoargumentowe.

W praktyce najpopularniejsze i najszerzej stosowane są relacje dwuargumentowe (dwuczłonowe, binarne), zwykle nazywane po prostu relacjami.

Relacje te są zbiorami par uporządkowanych elementów postaci (x, y) \in X \times X. Zgodnie z tradycją zamiast (x, y) \in \varrho pisze się zazwyczaj x\; \varrho\; y i czyta „x \mbox{ jest w relacji } \varrho \mbox{ z } y”.

Zbiór wszystkich tych elementów X, które występują jako poprzedniki w parach należących do pewnej relacji (tzn. występują na pierwszych miejscach w parach) nazywamy dziedziną , a zbiór następników (elementów na drugim miejscu) – obrazem tej relacji.

[edytuj] Przykłady

Typowymi przykładami relacji binarnych są:

  • relacja pusta równa zbiorowi pustemu,
  • relacja pełna, równa X \times X oraz
  • przekątna, czyli zbiór par \{(x, x): x \in X\}.

W zbiorze liczb rzeczywistych \mathbb R:

W zbiorze liczb naturalnych \mathbb N:

  • relacja podzielności, tj. zbiór wszystkich par liczb naturalnych (m,n) takich, że n = km dla pewnej liczby naturalnej k. Para (m,n) jest elementem tej relacji wtedy i tylko wtedy, gdy liczba m dzieli liczbę n. Dlatego
    • (2,4) jest elementem relacji podzielności,
    • (2,5) nie należy do tej relacji.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Ważniejsze relacje

własności

porządki

rodzaje


Gorbaczow do Kaczyńskiego: Opiekujcie się Jaruzelskim
- Czy rzeczywiście nie możecie rozwiązać problemu już niemłodego, chorego człowieka - generała, który wiele zrobił dla Polski? - z taką prośbą zwrócił się do Lecha Kaczyńskiego ostatni przywódca ZSRR Michaił Gorbaczow. Rosjanin poprosił też "o otoczenie chorującego Jaruzelskiego uwagą".
Bin Laden na święto Izraela
Będzie nowe nagranie szefa Al-Kaidy Osamy Bin Ladena. Tematem będzie 60 rocznica powstania Izraela - podała jedna ze amerykańskich stron internetowych monitorująca treści terrorystyczne. Nagranie ma ujrzeć światło dzienne w ciągu 72 godzin.
Rozmowy o tarczy na kamiennej ławeczce
- Zapadły pewne konkrety organizacyjne w sprawie tarczy antyrakietowej - poinformował Lech Kaczyński po spotkaniu z George'm W. Bushem w Jerozolimie. Prezydent "poskarżył się" też, że rozmowa, która dotyczyła także Gruzji, toczyła się przy lodowatym wietrze na kamiennej ławeczce.
Konflikt Bush - Obama z Polską w tle
Rozmawiać z terrorystami to tak, jakby próbować powstrzymać Hitlera przed atakiem na Polskę - tak George Bush podsumował zapowiedzi Baracka Obamy, że zamierza rozmawiać z przywódcami państw wrogich USA. Na dodatek zrobił to w Knesecie, w przemówieniu krytykującym politykę appeasmentu. Na odpowiedź Obamy nie trzeba było długo czekać.
Przeproszą za "polskie obozy koncentracyjne"
Minister Radosław Sikorski rozmawiał z brytyjskim ambasadorem w Polsce na temat publikacji północnoirlandzkiego "Tyrone Courier" - mówi tvn24.pl rzecznik MSZ Piotr Paszkowski. W środę gazeta wydrukowała relację z wizyty w "polskich obozach koncentracyjnych". Wydawca gazety zapewnił w rozmowie z dziennik.pl, że przeprosi Polaków za to stwierdzenie.
Linki: Strona gwna