Struktura matematyczna - Google

Struktura matematyczna

Z Wikipedii

Struktura matematyczna - zbiór obiektów matematycznych połączonych w pewien system. Często można się spotkać z innymi nazwami struktury matematycznej, na przykład: model, system semantyczny, model semantyczny, dziedzina, struktura pierwszego rzędu.

Na strukturę matematyczną M składają się uniwersum (czyli pewien zbiór lub szerzej klasa) oraz interpretacja symboli pewnego języka L, w którego skład mogą (lecz nie muszą) wchodzić symbole funkcji, relacji i stałych (interpretacje symboli stałych w modelu to elementy wyróżnione). Dlatego każdą strukturę M musimy rozpatrywać w kontekście ustalonego języka L. Mówimy wtedy, że M jest modelem (strukturą) dla języka L.

Często spotyka się rozróżnienie w rozumieniu znaczenia terminów model i struktura matematyczna (system semantyczny). Wówczas termin model jest tożsamy tylko z uniwersum.

[edytuj] Klasyfikacja struktur matematycznych

W teorii struktur wyróżnia się m.in.

struktury algebraiczne, tzn struktury dla języka, w którym mamy tylko symbole funkcji i/albo stałych, a nie relacji. Nie oznacza to brak relacji w modelu, każda funkcja jest bowiem relacją. Struktury takie można zwykle rozumieć jako zbiory z danymi działaniami. Przykładami struktur algebraicznych są grupy. Uniwersum tworzy zbiór elementów grupy, elementem wyróżnionym jest element neutralny działania grupowego, funkcjami natomiast są działanie grupowe oraz operacja brania elementu odwrotnego. W podobny sposób strukturami są wszystkie pozostałe struktury algebraiczne, czyli między innymi ciała, pierścienie, moduły i przestrzenie liniowe.
struktury porządkowe, tworzone przez zbiory wraz z ich relacjami porządkującymi, czyli m.in. częściowe porządki. Uniwersum stanowi zbiór elementów porządku, natomiast relacją jest relacja częściowego porządku.
struktury topologiczne, tworzone przez zbiory, w których wyróżniona jest rodzina podzbiorów o ustalonych własnościach. Zbiór wraz ze swoją strukturą topologiczną tworzy przestrzeń topologiczną.
struktury mieszane będące połączeniem co najmniej dwóch z powyższych rodzajów struktur, np. grupa topologiczna, przestrzeń liniowo-topologiczna, ciało uporządkowane.

[edytuj] Modele języków pierwszego rzędu

Niech τ będzie alfabetem pewnego języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ .

Interpretacją (modelem) języka ${\mathcal L}(\tau)$ nazywamy dowolną parę uporządkowaną $\langle U,\Delta$ , gdzie U jest niepustym zbiorem, natomiast ∆ jest funkcją określona na zbiorze wszystkich stałych pozalogicznych rozważanego języka, spełniającą następujące warunki:

dla dowolnej stałej indywiduowej a_i, ∆(a_i) ∈ U,
dla każdego predykatu n-argumentowego $P\in \tau$ , $Δ(P)$ jest n-członową relacją w zbiorze U,
dla każdego n-argumentowego symbolu funkcyjnego $F$ , $Δ(F)$ jest n-argumentową funkcją, której argumenty i wartości należą do zbioru U.

[edytuj] Własności i zastosowania

Każdemu modelowi można przyporządkować zbiór tych wszystkich zdań logicznych wyrażonych w języku tego modelu, które są w nim prawdziwe (jest to teoria tego modelu). Można też rozważać modele, które spełniają dany niesprzeczny zbiór zdań. Twierdzenie o istnieniu modelu udowodnione w 1931 roku przez Kurta Gödla mówi, że dla każdego takiego zbioru zdań istnieje model, który spełnia je wszystkie (spełnia w sensie definicji spełniania Tarskiego).

Struktura matematyczna jest na tyle ogólnym pojęciem, że badanie własności modeli i pewnych klas ich przekształceń (na przykład izomorfizmów, elementarnych równoważności) pozwala na wyciąganie pewnych generalnych wniosków dotyczących rzeczywistości matematycznej. Badaniami takimi zajmuje się teoria modeli, jeden z działów logiki matematycznej.

[edytuj] Zobacz też

Pogłoski o upadłości banku wywołały panikę

Rozpowszechniane w internecie pogłoski o rychłej upadłości jednego z największych bułgarskich banków komercyjnych FIB (First Investment Bank) spowodowały panikę wśród jego klientów, którzy ustawili się w długich kolejkach, by wycofać pieniądze.

Obniżyli cenę za przejazd A1 i nieźle na tym wyszli

Od kiedy minister infrastruktury zmniejszył opłaty za przejazd 25-kilometrowym odcinkiem A1, kierowcy dużo chętniej z niej korzystają. Ruch jest tylko nieznacznie mniejszy niż wtedy, gdy przejazd był bezpłatny - czytamy w trójmiejskim dodatku do "Gazety Wyborczej".

Fiskus ostrzega przed oszustami

Przed próbą wyłudzenia poufnych danych przez telefon ostrzegają szczecińskie urzędy skarbowe. Do urzędów zgłaszają się podatnicy, którzy otrzymali telefoniczne wezwanie, a nawet groźby surowej kary za rzekome niezłożenie zeznania.

Cena benzyny wkrótce znacznie powyżej 5 zł za litr?

Baryłka ropy naftowej według banków Goldman Sachs i UBS może kosztować niedługo 150 dolarów, a litr benzyny w Polsce ponad 5 zł - donosi "Rzeczpospolita" w sobotnim wydaniu.

Czy Wrocław wygra wyścig o prestiżowy instytut?

Wrocław ma poważne szanse na siedzibę Europejskiego Instytutu Innowacji i Technologii (EIT), a polski rząd powinien lobbować na jego rzecz - uważa ekspert Uniwersytetu Warszawskiego Jarosław Pietras.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia