Dwójkowy system liczbowy - Google

Dwójkowy system liczbowy

Z Wikipedii

(Przekierowano z System dwójkowy)
Skocz do: nawigacji, szukaj
Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25
Dwójkowy zegarek pokazujący godzinę 3:25

Dwójkowy system liczbowy (inaczej binarny) to pozycyjny system liczbowy, w którym podstawą jest liczba 2. Do zapisu liczb potrzebne są więc tylko dwie cyfry: 0 i 1.

Powszechnie używany w elektronice cyfrowej, gdzie minimalizacja (do dwóch) liczby stanów pozwala na zminimalizowanie przekłamań danych. Co za tym idzie, przyjął się też w informatyce.

Jak w każdym pozycyjnym systemie liczbowym, liczby zapisuje się tu jako ciągi cyfr, z których każda jest mnożnikiem kolejnej potęgi podstawy systemu.

Np. liczba zapisana w dziesiętnym systemie liczbowym jako 10, w systemie dwójkowym przybiera postać 1010, gdyż:

1\cdot 2^3+0\cdot 2^2+1\cdot 2^1+0\cdot 2^0=8+2=10.\;

Liczby w systemach niedziesiętnych oznacza się czasami indeksem dolnym zapisanym w systemie dziesiętnym, a oznaczającym podstawę danego systemu. W celu podkreślenia, że liczba jest dziesiętna można również napisać obok niej indeks. Np.

10101_2=21_{10}\;

W systemie dwójkowym można przedstawiać również liczby rzeczywiste. Na przykład ułamki dziesiętne dają się zapisać jako:

0,625_{10} = 0,101_{2}=0\cdot 2^0 + 1 \cdot 2^{-1} + 0 \cdot 2^{-2} + 1 \cdot 2^{-3}\;
0,15_{10} = 0,00(1001)_{2}\;
0,28_{10} = 0,(01000111101011100001)_{2}\;

ułamek zwykły:

\frac{5_{10}}{7_{10}} = 0,(101)_2\;

(nawiasem oznaczono okres ułamka)

Liczby niewymierne mają rozwinięcie nieokresowe:

\sqrt{2_{10}} = 1,0110101000001001111001100110011111110\dots_2\;

Spis treści

[edytuj] Obliczanie wartości dziesiętnej liczby zapisanej w systemie dwójkowym

11110_2 = 1\cdot 2^4 + 1\cdot 2^3 + 1\cdot 2^2 + 1\cdot 2^1 + 0\cdot 2^0 =
=1 \cdot 16 + 1 \cdot 8 + 1 \cdot 4 + 1 \cdot 2 + 0 \cdot 1 = 16 + 8 + 4 + 2 = 30\;

Jedynka podobnie jak w systemie dziesiętnym ma różne wartości w zależności od swojej pozycji - na końcu oznacza 1, na drugiej pozycji od końca 2, na trzeciej 4, na czwartej 8, itd. Ponieważ 0\cdot 2^n=0\; oraz 1\cdot 2^n=2^n,\; aby obliczyć wartość liczby zapisanej dwójkowo, wystarczy zsumować potęgi dwójki odpowiadające cyfrom 1 w zapisie.

[edytuj] Obliczanie wartości binarnej liczby zapisanej w systemie dziesiętnym

Zamiana 3010 na liczbę w systemie dwójkowym:

30 ÷ 2 = 15 reszty 0
15 ÷ 2 = 7 reszty 1
7 ÷ 2 = 3 reszty 1
3 ÷ 2 = 1 reszty 1
1 ÷ 2 = 0 reszty 1

Aby obliczyć wartość dwójkową liczby przepisujemy od końca reszty. Tak więc 3010 = 111102.

127 ÷ 2 = 63 reszty 1            19 ÷ 2 = 9 reszty 1
63  ÷ 2 = 31 reszty 1            9 ÷ 2 = 4 reszty 1
31  ÷ 2 = 15 reszty 1            4 ÷ 2 = 2 reszty 0
15  ÷ 2 = 7 reszty 1             2 ÷ 2 = 1 reszty 0
7  ÷ 2 = 3 reszty 1               1 ÷ 2 = 0 reszty 1
3   ÷ 2 = 1 reszty 1
1   ÷ 2 = 0 reszty 1
12710 = 11111112                       1910 = 100112

[edytuj] Działania na liczbach w systemie dwójkowym

Dodawanie w systemie dwójkowym.

                  111111
                  1111111
              +     10011
                 10010010


Operacja jest podobna do dodawania w systemie dziesiętnym. Wystarczy zapamiętać, że 1 i 1 dają wynik 0 i 1 „w pamięci”. Wszystkie pozostałe operacje, jakie można spotykać przy takim dodawaniu, zawierają dodawanie zera.

Odejmowanie:

                  1111111
              -     10011
                  1101100

A w takiej sytuacji pożyczamy jedynkę:

     11101
-    10110
     00111

(zera z lewej strony, można wykreślić).

Mnożenie i dzielenie wykonuje się w systemie dwójkowym także podobnie jak w systemie dziesiętnym. Tabelka mnożenia jest trywialną.

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Linki zewnętrzne


Pytania do ministra ws. bezprawnej inwestycji w Bochni
"Dziennik Polski": - Dlaczego prokuratura nie podjęła działań zmierzających do wstrzymania bezprawnej inwestycji w Bochni? - zapytali ministra sprawiedliwości posłowie ziemi tarnowskiej Edward Czesak i Józef Rojek (obaj z PiS), dziwiąc się, że kontrowersyjna "Tankownia" działa w najlepsze.
Turyści coraz częściej koczują na lotniskach
"Metro": Turyści coraz częściej koczują na lotniskach, zamiast wylegiwać się na plażach. Wszystko przez opóźnione samoloty. Niestety, nie ma co liczyć na to, że biuro podróży przedłuży nam pobyt. Możemy jednak żądać odszkodowania.
Poszkodowanych bezprawnym prawem coraz więcej
"Gazeta Prawna": Na bezprawie legislacyjne obywatele mogą skarżyć się i dochodzić odszkodowań od 2004 r.
Wyhodował 60 psów do nielegalnych walk
Blisko 60 pitbulli hodował do nielegalnych walk 51-letni mężczyzna z Pełczyc w Zachodniopomorskiem. Przetrzymywał je w budynkach gospodarczych. Policjanci z Choszczna skontrolowali gospodarstwo na prośbę Pogotowia i Straży dla Zwierząt.
"Nieoczekiwane" słowa Tuska o CBA
Na ostatnim wyjazdowym posiedzeniu klubu posłowie Platformy Obywatelskiej zaatakowali szefa CBA, domagając się jego odwołania. Mariusza Kamińskiego nieoczekiwanie obronił premier Donald Tusk - informuje serwis tvp.info.
Linki: Strona gwna