Teoria dystrybucji - Google

Teoria dystrybucji

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Teoria dystrybucji to dział matematyki leżący na pograniczu analizy funkcjonalnej i teorii funkcji rzeczywistych. Powstała w XX wieku, głównie za sprawą prac francuskiego matematyka Laurenta Schwartza. Zasadnicza idea tej teorii polega na pewnego rodzaju uogólnieniu pojęcia funkcji rzeczywistej. Choć dystrybucje nie mają wszystkich pożytecznych własności charakterystycznych funkcjom (np. nie mają na ogół "wartości w punkcie"), to jednak nadają się do opisu wielu skomplikowanych układów fizycznych. Z drugiej strony, dystrybucje cechują się dobrymi własnościami algebraicznymi, m.in. mają pochodne dowolnego rzędu. Z uwagi na ten fakt oraz na własności dystrybucji związane z transformatą Fouriera oraz operacją splotu, metody dystrybucyjne mają ważne znaczenie w teorii równań różniczkowych liniowych.

[edytuj] Formalna definicja przestrzeni D' dystrybucji na Rn

Jeśli U jest otwartym podzbiorem przestrzeni euklidesowej \mathbb{R}^n (w szczególności może być całą przestrzenią), to przez D(U) oznacza się przestrzeń liniową funkcji gładkich o zwartym nośniku, przyjmujących wartości rzeczywiste bądź zespolone. Zatem przestrzeń D(U) składa się z takich funkcji określonych na zbiorze U, które mają ciągłe pochodne cząstkowe dowolnego rzędu, a ponadto przyjmują wartość zero poza zbiorem ograniczonym.

W przestrzeni D(U) można określić pojęcie zbieżności, przyjmując, że ciąg funkcji (f_n)_{n\in\mathbb{N}} jest zbieżny do funkcji granicznej f wtedy i tylko wtedy, gdy:

  • istnieje zbiór ograniczony A{\subset}U, w którym zawierajÄ… siÄ™ noÅ›niki wszystkich funkcji fn dla n \in \mathbb{N} (a wiÄ™c funkcje fn zerujÄ… siÄ™ poza zbiorem A);
  • dla r = 0, 1, 2, 3, ... ciÄ…g {D(r)fn} pochodnych czÄ…stkowych rzÄ™du r funkcji fn jest zbieżny do odpowiedniej pochodnej czÄ…stkowej funkcji f (dotyczy to wszystkich możliwych pochodnych czÄ…stkowych danego rzÄ™du).

Wówczas przestrzeń D'(U) dystrybucji na U określamy jako zbiór wszystkich funkcjonałów liniowych i ciągłych na D(U).

[edytuj] Utożsamienie funkcji lokalnie całkowalnych z dystrybucjami

Mając tak ukreśloną przestrzeń D'(U) dystrybucji na U, możemy przypisać każdej funkcji f lokalnie całkowalnej na U dystrybucję T \in D'(U)

T: D(U) \rightarrow \mathbb{R}

określoną wzorem:

\phi \mapsto \int\limits_U f\phi

Taki zabieg pozwala na traktowanie pewnych dystrybucji, zwanych regularnymi, jako funkcji lokalnie całkowalnych. W przestrzeni dystrybucji D'(U) można następnie określić operację różniczkowania, transformacji Fouriera oraz splotu tak, aby miały one jednakowy sens, jak w przypadku analogicznych działań na funkcjach. Co więcej, operacje te określone są na wszystkich dystrybucjach, niezależnie od tego, czy da się je utożsamić z jakimikolwiek funkcjami.

[edytuj] Delta Diraca

Delta Diraca to bardzo ważny w zastosowaniach przykład dystrybucji nieregularnej; można ją również zdefiniować jako 'pseudofunkcję', choć w sensie ścisłym należy ją traktować jako dystrybucję z D'(\mathbb{R}^n) (możliwe jest przedłużene dystrybucji δ na szersze przestrzenie funkcyjne). Dystrybucję "δ Diraca" określamy wzorem:

{\delta}_0: D(\mathbb{R}^n) \ni \phi \mapsto \phi(0) \in \mathbb{R}


Sejm chce więcej pieniędzy dla siebie
"Rzeczpospolita": Kancelaria Sejmu chce, by jej przyszłoroczny budżet był wyższy o ponad 37 mln zł.
MEN ma nowy pomysł - może zabraknąć nauczycieli
"Metro": Chemii mają uczyć absolwenci chemii, biologii biolodzy, a angielskiego angliści. Jeśli najnowszy pomysł Ministerstwa Edukacji wejdzie w życie, w szkołach zabraknie pedagogów.
Polacy chcÄ… referendum ws. tarczy
"Rzeczpospolita": 58 proc. z nas dobrze ocenia decyzję w sprawie tarczy. Tyle samo chce ratyfikowania umowy o tarczy w ogólnonarodowym referendum - wynika z sondażu GfK Polonia.
Tysiące ślubów zachowa swą ważność
"Gazeta Prawna": Rząd przyjął projekt nowelizacji prawa o aktach stanu cywilnego. Dzięki zmianom w tej ustawie zostaną zalegalizowane małżeństwa zawarte przed nieprawidłowo powołanymi kierownikami urzędów stanu cywilnego od 7 sierpnia 2005 r. do dnia wejścia w życie nowelizacji.
Rząd chce dużych rabatów na rakiety z USA
"Rzeczpospolita": Polska liczy na duże rabaty przy zakupie w przyszłości rakiet Patriot.
Linki: Strona g³ówna