Twierdzenie Ascoliego-Arzeli

Z Wikipedii

Twierdzenie Ascoliego-Arzeli – twierdzenie charakteryzujące przekształcenia ciągłe $f: X \to \mathbb R^n$ z przestrzeni zwartej w przestrzeń euklidesową.

[edytuj] Definicje

rodzina przekształceń ciągłych $\mathcal F \subset C(X, \mathbb R^n)$ z przestrzeni topologicznej $(X,τ)$ w przestrzeń euklidesową $(\mathbb R^n, d_e)$ jest jednakowo ciągła, jeśli dla każdego $x \in X$ i $\varepsilon > 0$ istnieje otoczenie $U \ni x$ takie, że dla wszystkich $f \in \mathcal F$ jest średnica $\operatorname{diam } f(U) \le \varepsilon$ .
rodzina $\mathcal F \subset C(X, \mathbb R^n)$ jest ograniczona, jeśli dla pewnego $r > 0$ obrazy $f (X)$ wszystkich przekształceń $f \in \mathcal F$ leżą w kuli $B (0, r)$ .

[edytuj] Teza

Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią zwartą i niech rodzina $\mathcal F \subset C(X, \mathbb R^n)$ będzie jednakowo ciągła i ograniczona. Wówczas domknięcie $\mathcal F$ w przestrzeni metrycznej w przestrzeni metrycznej $\left(C(X, \mathbb R^n), d_{sup}\right)$ jest zwarte.

[edytuj] Zobacz też

Policja będzie miała większe uprawnienia

"Rzeczpospolita": policjanci częściej będą mogli zakładać podsłuchy i używać środków przymusu wobec przestępców. Gazeta dotarła do obszernej nowelizacji ustawy o policji, przygotowanej przez Ministerstwo Spraw Wewnętrznych i Administracji.

56 proc. Polaków uważa, że premier nie miał racji

"Rzeczpospolita": 56 proc. Polaków uważa, że premier postąpił niesłusznie, odmawiając prezydentowi prawa do skorzystania z rządowego samolotu w drodze na szczyt UE - wynika z sondażu GfK Polonia.

L.Kaczyński: musiałem polecieć na ten szczyt

"Rzeczpospolita": prezydent Lech Kaczyński mówi w wywiadzie, że musiał polecieć na szczyt UE, bo takie są jego obowiązki. Przyznaje też, że nie zgadza się z koncepcją unijnej polityki premiera.

Prezydent: poparłem pana premiera całkowicie

Prezydent Lech Kaczyński po zakończeniu pierwszego dnia szczytu UE w Brukseli wyraził nadzieję, że na następne unijne spotkania na szczycie będzie jeździł razem z premierem Donaldem Tuskiem.

Prezydent: nie kłóciliśmy się, ale uśmiechaliśmy się do siebie