Twierdzenie Banacha-Steinhausa - Google

Twierdzenie Banacha-Steinhausa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

[edytuj] Sformułowanie

Niech Φ będzie rodziną ciągłych funkcjonałów liniowych określonych na przestrzeni Banacha X, która jest punktowo ograniczona, tj. \forall_{x \in X}[ \sup_{\phi \in \Phi} |\phi(x)| < \infty]. Wówczas Φ jest normowo ograniczona, tzn. \sup_{\phi \in \Phi} \|\phi\| < \infty.

[edytuj] Dowód

Dla każdego n \in \mathbb{N} określmy G_n = \{x \in X\ |\ \exists{\phi \in \Phi} ||\phi(x)|| > n\}. Zbiory te są otwarte, ponieważ G_n = \bigcup_{\phi \in \Phi} \phi^{-1}(\mathbb{F}\setminus{\bar{B}}_{\mathbb{F}}(0,n)), gdzie \mathbb{F} oznacza ciało (\mathbb{R} lub \mathbb{C}), nad którym X jest przestrzenią Banacha, zaś {\bar{B}}_{\mathbb{F}}(0,n) oznacza domkniętą kulę o promieniu n w tym ciele. Jej dopełnienie jest otwarte, zatem również jego przeciwobraz przy ciągłym funkcjonale φ będzie otwarty. Wreszcie, otwarty będzie zbiór Gn jako suma teoriomnogościowa wielu takich przeciwobrazów.



Gdyby każdy ze zbiorów Gn był gęsty, to korzystając z twierdzenia Baire'a (założenia są spełnione, bo X jest z definicji zupełna), otrzymalibyśmy, że \bigcap_{n=1}^{\infty} G_n \neq \emptyset. Wówczas, biorąc (dowolny) element x tego przecięcia, moglibyśmy znaleźć funkcjonały w Φ, przyjmujące dowolnie w x dowolnie duże wartości - wbrew założeniu.


Zatem dla pewnego n zbiór Gn nie jest gęsty, co oznacza, że jego dopełnienie w X ma niepuste wnętrze. W szczególności, zawiera pewną kulę B. Oznaczmy jej środek i promień przez x0 i r0. Teraz, dla dowolnego x, którego norma jest mniejsza niż r0, oraz dla dowolnego φ mamy ||\phi(x)|| = ||\phi(x_0 + x) - \phi(x_0)|| \leq ||\phi(x_0 + x)|| + ||\phi(x_0)|| < n + n, zatem ||\phi|| \leq {2n \over r_0} dla każdego φ, co kończy dowód.


Zalążek artykuÅ‚u To jest tylko zalążek artykuÅ‚u zwiÄ…zanego z matematykÄ…. JeÅ›li potrafisz, rozbuduj go.

ÅšWIAT 24/7
Schwytanie byłego przywódcy Serbów bośniackich Radovana Karadzicia, podróż Baracka Obamy na Bliski Wschód i do Europy oraz Komisja Europejska, która grozi USA w sprawie wiz - to najważniejsze zagraniczne tematy, o których pisaliśmy w ostatnim tygodniu w tvn24.pl.
Kalifornia bez tłuszczu
Gubernator Kalifornii Arnold Schwarzenegger podpisał rozporządzenie, które zakazuje używania tłuszczów nienasyconych (trans tłuszczy) w restauracjach w całej Kalifornii. Tłuszcze te odpowiedzialne są między innymi za chorobę wieńcową serca.
Rosja gani Busha za zrównanie komunizmu z nazizmem
Rosyjskie Ministerstwo Spraw Zagranicznych oświadczyło w sobotę, że prezydent USA George W. Bush zranił weteranów II wojny światowej zrównując nazizm z komunizmem.
Piraci porwali 8 obcokrajowców
W sobotni poranek piraci porwali 8 pracowników kompanii naftowej w delcie Nigru. W ciągu ostatnich 48 godzin już 16 naftowców znalazło się w rękach porywaczy.
Pijana kobieta wymusiła lądowanie samolotu
26-letnia pijana Brytyjka usiłowała wydostać się z lecącego na wysokości 10 tys. metrów samolotu. Próby otwarcia drzwi skończyły się awaryjnym lądowaniem.
Linki: Strona g³ówna