Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - Google

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie o odwzorowaniu otwartym - twierdzenie podające warunek wystarczający na to by ciągły operator liniowy działający między F-przestrzeniami (a więc w szczególności przestrzeniami Banacha) był odwzorowaniem otwartym.

Szczególny przypadek tego twierdzenia zwany jest twierdzeniem Banacha-Schaudera, a jednym z wniosków z tego twierdzenia jest twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym.

[edytuj] Twierdzenie

Niech X,Y będą przestrzeniami liniowo-topologicznymi oraz \Lambda\colon X\to Y będzie operatorem liniowym i ciągłym. Jeżeli X jest F-przestrzenią oraz Λ(X) jest podzbiorem drugiej kategorii przestrzeni Y, to Λ jest odwzorowaniem otwartym, Λ(X) = Y oraz Y jest F-przestrzenią.

[edytuj] Wnioski

Niech X,Y będą F-przestrzeniami oraz \Lambda\colon X\to Y będzie operatorem liniowym i ciągłym.

  • Twierdzenie Banacha-Schaudera
Jeśli Λ(X) = Y, to Λ jest odwzorowaniem otwartym.
  • Twierdzenie Banacha o operatorze odwrotnym
Jeżeli Λ(X) = Y oraz Λ jest odwzorowaniem różnowartościowym, to Λ − 1 jest ciągłe.
  • Jeżeli X i Y sÄ… przestrzeniami Banacha oraz Λ jest bijekcjÄ…, to istniejÄ… takie dodatnie staÅ‚e rzeczywiste a,b, że
a\|x\|\leq \|\Lambda x\|\leq b\|x\| dla każdego x\in X.
  • Warunek wystarczajÄ…cy na równoważność norm zupeÅ‚nych
Jeżeli (X, \|\cdot\|_1), (X, \|\cdot\|_2) są przestrzeniami Banacha oraz dla każdego ciągu (x_n)_{n\in\mathbb{N}} punktów przestrzeni X spełniony jest warunek
\lim_{n\to\infty}\|x_n\|_1=0\Rightarrow \lim_{n\to\infty}\|x_n\|_2=0,
to normy \|\cdot\|_1 i \|\cdot\|_2 są równoważne.
  • Jeżeli (X,\mathcal{T}_1), (X,\mathcal{T}_2) sÄ… F-przestrzeniami oraz \mathcal{T}_1\subseteq \mathcal{T}_2, to \mathcal{T}_1= \mathcal{T}_2

[edytuj] Bibliografia

  1. Walter Rudin: Analiza Funkcjonalna. Warszawa: PWN, 2001. 

Gdańsk pożegnał pomorskich sportowców
28 sportowców z 12 klubów województwa pomorskiego reprezentować będzie Polskę w igrzyskach w Pekinie. Najwięcej z nich na co dzień reprezentuje AZS AWFiS Gdańsk. Przyszłych olimpijczyków pożegnano w czwartek w Akademii Wychowania Fizycznego i Sportu.
Stracił palec po meczu z Polską i nie zagra na IO
Chorwacki piłkarz ręczny Ivan Cupic stracił w czwartek palec, dzień po meczu z Polską, i nie wystąpi w igrzyskach olimpijskich w Pekinie.
Baltic Sailing Cup: mistrzowie świata liderami
Mistrzowie świata w żeglarskiej Formule 18, holenderska załoga Coen de Koning i Jeroen van Leeuwen startująca na katamaranie Nacra Infusion wygrała drugi etap regat Enea Baltic Sailing Cup na trasie Mielno-Ustka i umocniła się na pozycji liderów.
ATP: porażka Fyrstenberga i Matkowskiego
Marcin Fyrstenberg i Marcin Matkowski przegrali z Hiszpanami Feliciano Lopezem i Fernando Verdasco 2:6, 6:7 w pierwszej rundzie turnieju tenisowego ATP w Toronto.
W Sejmie o kierunku rozwoju COS do 2015 roku
Zewnętrzny audyt pomoże w profesjonalnym zweryfikowaniu perspektywnicznych planów rozwojowych Centralnego Ośrodka Sportu - poinformował posłów sejmowej komisji kultury Fizycznej i Sportu jego dyrektor naczelny Tadeusz Wróblewski przedstawiając informację na temat kierunków rozwoju Centralnych Ośrodków Sportu do 2015 roku.
Linki: Strona g³ówna