Twierdzenie Cochrana

Z Wikipedii

Twierdzenie Cochrana – twierdzenie matematyczne wykorzystywane w analizie wariancji. Jest ono twierdzeniem odwrotnym do twierdzenia Fishera.

Spis treści

1 Założenia
2 Teza
3 Przykład
4 Zobacz też

[edytuj] Założenia

Załóżmy, że $U_1, U_2, \dots, U_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładach normalnych. Rozważmy równość

$\sum_{i=1}^n~U_i^2 = Q_1 + \dots + Q_k$ ,

gdzie $Q i$ są sumami kwadratów kombinacji liniowych zmiennych $U i$ . Jeśli

$r_i + \dots +r_k = n$

gdzie $r i$ są rzędami $Q i$

[edytuj] Teza

Zmienne $Q i$ są zmiennymi niezależnymi i mają rozkład χ² z $r i$ stopniami swobody.

[edytuj] Przykład

Jeśli $X_1, \dots, X_n$ są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie normalnym ze średnią $μ$ i odchyleniem standardowym $σ$ , wtedy

$U_i = {X_i-\mu \over \sigma}$

ma standardowy rozkład normalny dla każdego $i$ .

Możemy zapisać:

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \mu)^2 = \sum_{i=1}^n~(X_i + \overline X - \overline X - \mu)^2 =$

$= \sum_{i=1}^n~(X_i-\overline X)^2 + \sum_{i=1}^n~(\overline X - \mu)^2 + 2\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)(\overline X - \mu)$ .

Trzeci składnik wynosi zero, ponieważ jest równy iloczynowi stałej przez

$\sum_{i=1}^n~(X_i - \overline X)$ ,

natomiast drugi składnik jest sumą $n$ identycznych stałych.

Uwzględniając powyższe i dzieląc strony równości przez $σ 2$ otrzymujemy:

$\sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \mu \over \sigma} \right)^2 = \sum_{i=1}^n~\left( {X_i - \overline X \over \sigma} \right)^2 + n\left( {\overline X - \mu \over \sigma} \right)^2 = Q_1 + Q_2$ .

Ranga $Q 2$ wynosi $1$ (jest to kwadrat tylko jednej kombinacji liniowej zmiennych losowych o standardowym rozkładzie normalnym). Ranga $Q 1$ być z kolei obliczona jako $n - 1$ .

Spełnione są założenia twierdzenia Cochrana. Twierdzenie Cochrana mówi, że $Q 1$ i $Q 2$ są niezależnymi zmiennymi losowymi i mają rozkład $χ 2$ ze stopniami swobody odpowiednio $n - 1$ i $1$ .

To pokazuje, że średnia z próby i wariancja z próby są niezależnymi zmiennymi losowymi, a także:

$(\overline X - \mu)^2 \sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_1$ .

Jako estymatora wariancji $σ 2$ używa się często:

$\hat{\sigma^2} = {1 \over n} \sum~\left( X_i - \overline X \right)^2$ .

Twierdzenie Cochrana pokazuje, że:

$\hat{\sigma^2}\sim {\sigma^2 \over n}\chi^2_{n-1}$ ,

z czego wynika, że wartością oczekiwaną $\hat{\sigma^2}$ jest $\sigma^2 n \over n - 1$ .

[edytuj] Zobacz też

Kurhany na Wyżynie Sandomierskiej

Wygląda jak niepozorny pagórek, czasem oznaczony kilkoma przewróconymi głazami. Kiedy rolnicy obrabiają swoje pola, często zahaczają o niego, a jeśli głazy da się odsunąć - zrównują z ziemią. Czasem orka odsłania kamienne bloki, rzadziej odkrywa szkielety pochowanych tu ludzi. Zdarza się jednak, że kurhan, czyli nasyp nad pradawnym grobowcem, opiera się działaniu czasu. Wówczas archeolodzy mogą zająć się jego ochroną lub zbadać.

Bezpieczne sposoby leczenia cukrzycy

Poziom leczenia cukrzycy w Polsce jest raczej średni, ale wielu powikłaniom można zapobiec właściwie przyjmując leki - powiedział prof. Edward Franek ze Szpitala klinicznego MSWiA na konferencji prasowej, zorganizowanej przez Urząd Rejestracji Produktów Leczniczych, Wyrobów Medycznych i Produktów Biobójczych.

Czysta woda bez narkotyków

Nowoczesne metody oczyszczania wody pitnej stanowią doskonała barierę eliminującą zawarte w niej pierwotnie psychoaktywne substancje chemiczne np. kokainę, amfetaminę, kofeinę czy nikotynę (oraz ich pochodne), donosi "Environmental Science & Technology".

Naukowcy odkryli receptę na długowieczność

Tajemnica długowieczności tkwi nie tylko w genach, ale również w sposobie odżywiania się i życia - podkreślają uczestnicy pierwszego Zjazdu Medycyny Prewencyjnej i Przeciwstarzeniowej.

NASA poszerza program poszukiwania planet

NASA chce poszerzyć program poszukiwania planet poza układem słonecznym. W tym celu chce ufundować specjalne stypendia dla najlepszych naukowców.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia