Twierdzenie Fubiniego

Z Wikipedii

Twierdzenie Fubiniego - jedno z podstawowych twierdzeń w analizie matematycznej i teorii miary w pełnej ogólności wprowadzone i udowodnione przez włoskiego matematyka Guido Fubiniego.

Uproszczoną (ale często podawaną) postacią tego twierdzenia jest:

Przypuśćmy, że $f:[a,b]\times [c,d]\longrightarrow {\mathbb R}$ jest funkcją ciągłą. Wówczas

$\int\limits_a^b\left(\int\limits_c^d f(x,y)\,dy\right)\,dx=\int\limits_c^d\left(\int\limits_a^b f(x,y)\,dx\right)\,dy=\int\limits_{[a,b]\times [c,d]} f(x,y)\,d(x,y)$ .

(Powyżej, ${\mathbb R}$ oznacza zbiór liczb rzeczywistych, a wszystkie znaki całki odnoszą sie do odpowiednich całek Riemanna.)

Spis treści

1 Postać ogólna twierdzenia
2 Przykłady
- 2.1 Zastosowanie
- 2.2 Funkcja niecałkowalna
3 Bibliografia
4 Zobacz też

[edytuj] Postać ogólna twierdzenia

[edytuj] Miary produktowe

Przypuśćmy, że $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ są przestrzeniami mierzalnymi.

Produkt przestrzeni mierzalnych $(X,{\mathcal F})$ i $(Y,{\mathcal G})$ to $(X\times Y,{\mathcal F}\times{\mathcal G})$ , gdzie $X\times Y$ jest iloczynem kartezjańskim zbiorów X i Y, a ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ jest σ-ciałem podzbiorów $X\times Y$ generowanym przez rodzinę $\{A\times B:A\in {\mathcal F}\ \wedge\ B\in {\mathcal G}\}$ .

(Tak więc produkt przestrzeni mierzalnych jest przestrzenią mierzalną.)

Jeśli $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ są przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) to istnieje jedyna miara λ określona na σ-ciele ${\mathcal F}\times{\mathcal G}$ i taka, że dla każdych zbiorów $A\in {\mathcal F}$ i $B\in {\mathcal G}$ mamy

$\lambda(A\times B)=\mu(A)\times \nu(B)$ .

Miarę λ nazywamy miarą produktową i czasami używamy oznaczenia $\lambda=\mu\times \nu$ .

Dla funkcji $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ i punktu $x\in X$ określamy cięcie $h x$ funkcji $h$ w punkcie $x$ jako odwzorowanie $h_x:Y\longrightarrow {\mathbb R}:y\mapsto h(x,y)$ . Analogicznie określamy też cięcie $h y$ funkcji $h$ w punkcie $y\in Y$ .

[edytuj] Twierdzenia

Niech $(X,{\mathcal F},\mu)$ i $(Y,{\mathcal G},\nu)$ będą przestrzeniami mierzalnymi z miarami (skończonymi) i niech $\lambda=\mu\times \nu$ będzie miarą produktową.

Twierdzenie Fubiniego: Załóżmy, że funkcja $h:X\times Y\longrightarrow {\mathbb R}$ jest całkowalna względem miary produktowej λ. Wówczas:

(a) prawie każde cięcie funkcji h jest całkowalne (odpowiednio względem μ lub ν),

(b) jeśli dla $x\in X$ położymy $f(x)=\int\limits_Y h(x,y) d\nu$ a dla $y\in Y$ określimy $g(y)=\int\limits_X h(x,y) d\mu$ , to otrzymane funkcje $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ i $g:Y\longrightarrow {\mathbb R}$ są całkowalne (względem μ,ν, odpowiednio) oraz

$\int\limits_{X\times Y} h\ d\lambda=\int\limits_X f\ d\mu=\int\limits_Y g\ d\nu$ .

Następujące twierdzenie jest również określane mianem twierdzenia Fubiniego. Wynika ono bezpośrednio z powyższego twierdzenia. (W niektórych dowodach twierdzenia ogólnego jest ono używane jako lemat.)

Przypuśćmy, że $E\subseteq X\times Y$ jest zbiorem mierzalnym (tzn $E\in {\mathcal F}\times {\mathcal G}$ ). Wówczas następujące warunki są równoważne:

(i)

λ(E) = 0

,

(ii) $\mu\left(\left\{x\in X:\nu(\{y\in Y:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ ,

(iii) $\nu\left(\left\{y\in Y:\mu(\{x\in X:(x,y)\in E\})\neq 0\right\}\right)=0$ .

[edytuj] Uwagi

Powyższe fakty i definicje nie ulegają zmianom jeśli pozwolimy aby nasze miary przyjmowały również wartość $\infty$ , ale wtedy powinniśmy założyć, że $μ,ν$ są σ-skończone (tzn istnieją zbiory $F_1,F_2,F_3,\ldots \in {\mathcal F}$ takie że $\bigcup\limits_{n=1}^\infty F_n=X$ oraz $\mu(F_n)<\infty$ dla każdego n i podobnie dla ν).
Czytelnika zainteresowanego głębszym zrozumieniem tej tematyki odsyłamy do klasycznej już książki Paula Halmosa^[1]

[edytuj] Przykłady

[edytuj] Zastosowanie

Jednym z najpopularniejszych przykładów zastosowania twierdzenia Fubiniego jest dowód, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Dla dodatniej liczby rzeczywistej a połóżmy

$I(a)=\int\limits_{-a}^a e^{-x^2}$ .

Wówczas

$\lim_{a\to\infty} I(a) = \int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx$ .

Zauważmy, że

$I(a)^2=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )=\left ( \int\limits_{-a}^a e^{-x^2} dx \right )\cdot \left ( \int\limits_{-a}^a e^{-y^2} dy \right )=\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ .

Stosując twierdzenia Fubiniego do funkcji $f(x,y) = e^{-(x^2+y^2)}$ znajdujemy, że $\int\limits_{-a}^a \int\limits_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dx\,dy$ równa się całce podwójnej po kwadracie K o wierzchołkach w {(-a, a), (a, a), (a, -a), (-a, -a)} w kartezjańskim układzie współrzędnych na płaszczyźnie z funkcji f (względem miary Lebesgue'a na płaszczyźnie). Ponieważ wszystkie wartości tej funkcji są dodatnie, to całka po kole wpisanym w kwadrat K będzie mniejsza niż $I (a) 2$ , a całka po kole opisanym na kwadracie K będzie większa niż ta wartość. Powtórnie używając twierdzenia Fubiniego, wspomniane dwie całki po kołach możemy wyrazić w układzie biegunowym i wtedy otrzymujemy

$\int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I(a)^2 < \int\limits_0^{2\pi}\int\limits_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta$

Stąd już prosto mamy, iż

$\pi (1-e^{-a^2}) < I(a)^2 < \pi (1 - e^{-2a^2})$ .

Używając twierdzenia o trzech ciągach możemy wywnioskować, że

$\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-x^2} dx = \sqrt{\pi}$

Powyższa całka (nazywana też całką Gaussa) jest jedną z całek często wykorzystywanych w fizyce i statystyce. Często podaje ją się w następującej formie

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=ac\sqrt{\pi}$ .

Tę ostatnią formułę otrzymujemy przez przeniesienie a przed znak całki, podstawienie $u = x - b$ a potem podstawienie $w = u / c$ jak następuje:

$\int\limits_{-\infty}^{\infty} ae^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^{\infty} e^{-(x-b)^2/c^2}dx=a\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-u^2/c^2}du=ac\int\limits_{-\infty}^\infty e^{-w^2}dw=ac\sqrt{\pi}$ .

[edytuj] Funkcja niecałkowalna

Rozważmy całki

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy.$

Ze względu na symetrię całkowanej funkcji, łatwo możemy się przekonać że $A = - B$ . Pokażemy, że $A\neq 0$ , a więc także $A\neq B$ .

Do obliczenia całki

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy$

użyjemy podstawienia trygonometrycznego $y=x\operatorname{tg}(\theta)$ . Tak więc

$dy=x\sec^2(\theta)\,d\theta$ oraz $x^2+y^2=x^2+x^2\operatorname{tg}^2(\theta)=x^2(1+\operatorname{tg}^2(\theta))=x^2\sec^2(\theta).$

Granice całkowania $0\leq y\leq 1$ dają nam $0\leq x\operatorname{tg}(\theta)\leq 1$ czyli $0\leq\operatorname{tg}(\theta)\leq 1/x$ , a stąd $0\leq\theta\leq\arctan(1/x).$ Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=$

$\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{x^2(1-\operatorname{tg}^2(\theta))}{(x^2\sec^2(\theta))^2} x\sec^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \frac{1-\operatorname{tg}^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\,d\theta$

$=\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos^2(\theta)-\sin^2(\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\int\limits_0^{\arctan(1/x)} \cos(2\theta)\,d\theta =\frac{1}{x}\left[\frac{\sin(2\theta)}{2} \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)}$

$=\frac{1}{x}\left[\sin(\theta)\cos(\theta) \right]_{\theta:=0}^{\theta=\arctan(1/x)} =\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x)).$

Przypomnijmy, że mamy następujące tożsamości trygonometryczne:

$\sin(\arctan(1/x))=\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}$ oraz $\cos(\arctan(1/x))=\frac{x}{\sqrt{1+x^2}}.$

Zatem

$\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy=\frac{1}{x}\sin(\arctan(1/x))\cos(\arctan(1/x))=\frac{1}{1+x^2}.$

Następnie obliczamy całkę zewnętrzną (ze względu na x):

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\int\limits_0^1\frac{1}{1+x^2}\,dx =\left[\arctan(x)\right]_0^1=\arctan(1)-\arctan(0)=\frac{\pi}{4}.$

Tak więc

$A=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dy\,dx=\frac{\pi}{4}$ oraz $B=\int\limits_0^1\int\limits_0^1\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\,dx\,dy=-\frac{\pi}{4}.$

Zatem twierdzenie Fubiniego nie stosuje się do funkcji $f:[0,1]\times[0,1]\setminus\{(0,0)\}\longrightarrow {\mathbb R}:(x,y)\mapsto \frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}$ . Cóż jest tego powodem? Ponieważ jest to bardzo porządna funkcja, jedynym możliwym problemem jest to, że nie jest ona całkowalna (nawet nie w sensie Lebesgue'a). I rzeczywiście,

$\int\limits_{[0,1]\times [0,1]}\left|\frac{x^2-y^2}{(x^2+y^2)^2}\right|\,d (x,y)=\infty.$

[edytuj] Bibliografia

↑ Halmos, Paul R.: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950.

[edytuj] Zobacz też

Unikalny cmentarz ugrofiński

Archeolodzy odkryli w okolicach miasta Suzdal w Rosji unikalne miejsce pochówku członków plemienia Ugrofinów, pochodzące z początków I tysiąclecia n.e. - donosi serwis internetowy icRussia.

Soczewki kontaktowe z elektroniką

Opracowano prototyp nowoczesnych soczewek kontaktowych, w których wnętrzu zatopiony jest układ elektroniczny oraz diody LED. Jest to przysłowiowy "kamień milowy" dla dziedziny nauki, która zajmuje się miniaturyzacją układów scalonych, donosi "LaserFocusWorld".

Groźny detoks

Pewna Brytyjka doznała uszkodzeń mózgu po poddaniu się tzw. diecie "detoks", która wymagała picia dużych ilości płynów.

Pod lodami Arktyki 90 mld baryłek ropy

90 mld baryłek ropy i ilość gazu równa całym znanym jego zasobom w Rosji - na tyle oceniają amerykańscy eksperci rządowi zasoby Arktyki. Ich szacunki opisał w czwartek "Financial Times".

Twoje piersi tego nie lubią!

Kobiety, które noszą źle dobrane biustonosze, niszczą sobie piersi - alarmują naukowcy.

Linki: Strona g��wna

[0] Halmos, Paul R.: Measure Theory. D. Van Nostrand Company, Inc., New York, N. Y., 1950.

[1]

Encyklopedia