Twierdzenie Hurwitza - Google

Twierdzenie Hurwitza

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
Ten artykuł dotyczy twierdzenia z dziedziny algebry. Zobacz też: kryterium stabilności Routha-Hurwitza (Adolfa Hurwitza) z dziedziny algebry, znajdującego zastosowanie w automatyce oraz kryterium Hurwicza (Leonida Hurwicza) z dziedziny teorii decyzji.

Twierdzenie Hurwitza – opisuje ono własność wielomianów rzeczywistych zmiennej zespolonej. Jego nazwa pochodzi od nazwiska Adolfa Hurwitza, niemieckiego matematyka.

[edytuj] Twierdzenie

Niech f(z) = a_n z^n + a_{n-1} z^{n-1} + \dots + a_2 z^2 + a_1 z + a_0 oznacza wielomian rzeczywisty zmiennej zespolonej, przy czym n \ge 1, \quad a_n \ne 0, \quad a_0 > 0. Wówczas aby wszystkie pierwiastki wielomianu f(z) miały części rzeczywiste ujemne potrzeba i wystarcza, aby dodatnie były wszystkie wyznaczniki

W_1 = a_1, \quad W_2 = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 \\ a_3 & a_2 \end{vmatrix}, \quad W_3 = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 \\ a_5 & a_4 & a_3 \end{vmatrix}, \quad W_4 = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & a_0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & a_2 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 \end{vmatrix},


W_5 = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & 0 & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & a_0 & 0 \\ a_5 & a_4 & a_3 & a_2 & a_1 \\ a_7 & a_6 & a_5 & a_4 & a_3 \\ a_9 & a_8 & a_7 & a_6 & a_5 \end{vmatrix}, \quad \dots, \quad W_n = \begin{vmatrix} a_1 & a_0 & 0 & \cdots & 0 \\ a_3 & a_2 & a_1 & \cdots & 0 \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{2n-1} & a_{2n-2} & a_{2n-3} & \cdots & a_n \end{vmatrix}, przy ak = 0 dla k > n.

[edytuj] Przykład

Dla wielomianu

f(z) = 4z3 + 8z2 + 10z + 12

mamy

W_1 = 10, \quad W_2 = \begin{vmatrix} 10 & 12 \\ 4 & 8 \end{vmatrix} = 32,


W_3 = \begin{vmatrix} 10 & 12 & 0 \\ 4 & 8 & 10 \\ 0 & 0 & 4 \end{vmatrix} = 128,

zatem wszystkie pierwiastki tego wielomianu mają części rzeczywiste ujemne.

[edytuj] Zobacz też


Nowe katalogi IPN - wciąż bez Wałęsy
IPN uzupełnił swe katalogi w internecie o 2716 osób, w tym o ponad 2 tys. funkcjonariuszy organów bezpieczeństwa PRL (w tym morderców ks. Jerzego Popiełuszki), 375 osób rządzących PRL oraz 151 - rozpracowywanych w PRL.
Ujazdowski: nie mamy zamiaru tworzyć partii politycznej
Zdaniem jednego z liderów Ruchu Obywatelskiego "Polska XXI" posła Kazimierza M. Ujazdowskiego inicjatywa ta nie zamieni się w partię polityczną. Według niego w ciągu tygodnia do Ruchu poprzez internet przystąpiło 800 osób.
Gosiewski chce, by prokuratura sprawdziła Grzegorka
Przemysław Gosiewski (PiS) wystąpił do prokuratora okręgowego w Radomiu z wnioskiem o zbadanie, czy poseł Krzysztof Grzegorek (PO) nie popełnił przestępstw - w związku z toczącym się przeciw niemu śledztwem - za które powinien zostać aresztowany.
Wassermann przesłuchiwany w rzeszowskiej prokuraturze
Zbigniew Wassermann (PiS) jest przesłuchiwany w rzeszowskiej prokuraturze jako świadek w śledztwie w sprawie przekroczenia uprawnień podczas akcji CBA w Ministerstwie Rolnictwa.
"Żenujący spektakl IPN"
Proces gen. Wojciecha Jaruzelskiego to żenujący spektakl przygotowany przez IPN i pseudohistoryków, którzy pałają jedynie nienawiścią - uważa przewodniczący SLD Grzegorz Napieralski.
Linki: Strona g³ówna