Twierdzenie Jegorowa - Google

Twierdzenie Jegorowa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie Jegorowa. Jedno z ważniejszych twierdzeń teorii miary i teorii ciągów funkcji mierzalnych. Nazwane imieniem rosyjskiego matematyka, Dimitri Jegorowa.

[edytuj] Twierdzenie

Jeśli f_n, f\colon A\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}, \mu(A)<\infty oraz \lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x) prawie wszędzie, to ciąg (f_n)_{n\in\mathbb{N}} jest zbieżny do funkcji f\; prawie jednostajnie.

[edytuj] Dowód

Określmy zbiory:
N:=\{x\in A\colon f(x)\notin\mathbb{R}\}\cup\bigcup_{n=1}^{\infty}\{x\in A\colon f_n(x)\notin\mathbb{R}\}\cup\{x\in A\colon \sim\big(\lim_{n\to\infty}f_n(x)=f(x)\big)\}
B:=A\setminus N
B_{k,l}:=\bigcap_{n=l}^{\infty}\{x\in B\colon |f_n(x)-f(x)|<\frac{1}{k}\},\quad k,l\in\mathbb{N}
Istotnie, wystarczy wykazać, że ciąg ten nie jest zbieżny według miary.

Hipoteza: Ciąg, zdefiniowany jak wyżej, jest zbieżny według miary do pewnej funkcji f\colon \mathbb{N}\longrightarrow \overline{\mathbb{R}}. Jedynym zbiorem o mierze mniejszej od 1 jest zbiór pusty.
Wniosek: CiÄ…g ten zmierza do tej funkcji jednostajnie. SkÄ…d:

\forall_{x\in\mathbb{N}}[f(x) = 1]

Wówczas:

\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\forall_{n\geq n_0}\forall_{x\in\mathbb{N}} \big[|\chi_{\{1,\ldots,n\}}(x)-1|<1\big], gdzie χ to funkcja charakterystyczna zbioru. Czyli:

\exists_{n_0\in\mathbb{N}}\forall_{n\geq n_0}\forall_{x\in\mathbb{N}} \big[\chi_{\{1,\ldots,n\}}(x)=1\big]

Co prowadzi do sprzeczności.


[edytuj] Zobacz też


Trener polskich zawodników: o co tutaj chodzi?!
Trener kolarzy górskich Andrzej Piątek nie krył zdziwienia, a nawet zdenerwowania, decyzją organizatorów igrzysk o przeniesieniu wyścigu kobiet z piątku na sobotę. Jak twierdzili Chińczycy, powodem zmiany była rozmyta deszczem trasa.
Piłkarki ręczne SPR Safo Lublin na turnieju w Zaporożu
Przygotowując się do nowego sezonu piłkarki ręczne SPR Safo Lublin uczestniczyć będą od najbliższego piątku (22 sierpnia) w międzynarodowym turnieju o Puchar Dniepru w ukraińskim Zaporożu.
Lekkoatletyka: mistrz świata pokazał klasę
Mistrz świata Portugalczyk Nelson Evora pokazał klasę w finale olimpijskiego konkursu w Pekinie, wygrywając z wynikiem 17,67 m.
Mistrzowie olimpijscy powalczą o tytuły mistrza Polski
Uczestnicy igrzysk olimpijskich w Pekinie wystąpią w rozpoczynających się w piątek w Poznaniu 84. Mistrzostwach Polski w wioślarstwie.
MKOl - nowi członkowie Komisji Zawodniczej
Byli mistrzowie olimpijscy Rosjanin Aleksander Popow (pływanie) i Moon Dae-sung z Korei Południowej (taekwondo) znaleźli się wśród czterech nowo wybranych członków Komisji Zawodniczej Międzynarodowego Komitetu Olimpijskiego.
Linki: Strona g³ówna