Twierdzenie Menelaosa - Google

Twierdzenie Menelaosa

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Twierdzenie Menelaosa (Menelausa) – twierdzenie geometrii płaskiej pochodzące od Menelaosa z Aleksandrii, choć znane było już przed nim. Jest przydatne przy wykazywaniu współliniowości punktów (tzn. że leżą one na wspólnej prostej).

Spis treści

[edytuj] Treść

Dowolna poprzeczna wyznacza na dwóch bokach trójkąta \triangle ABC i przedłużeniu trzeciego boku (lub na przedłużeniach wszystkich boków) punkty D,E,F w ten sposób, że iloczyn długości trzech do siebie nieprzyległych odcinków jest równy iloczynowi długości trzech pozostałych, czyli

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|.

Zapamiętanie twierdzenia ułatwia również sztuczka mnemotechniczna polecająca kolejnym przechodzeniu od wierzchołka trójkąta (poczynając od dowolnie ustalonego) do punktu przecięcia poprzecznej na boku (przedłużeniu) zawierającym ten punkt do kolejnego wierzchołka i wróceniu w ten sposób do punktu wyjścia:

A \to E \to C \to D \to B \to F \to A skrótowo zapisywane zwykle jako AECDBFA,

co pomaga w zapamiętaniu, które z odcinków winny znaleźć się w liczniku, a które w mianowniku:

\frac{|AE|}{|EC|} \cdot \frac{|CD|}{|DB|} \cdot \frac{|BF|}{|FA|} = 1.

Ostatnia równość jest inną postacią twierdzenia.

[edytuj] Dowód

Niech X będzie przecięciem prostej równoległej do AC przechodzącej przez punkt B z poprzeczną. Trójkąty \triangle XBF i \triangle EAF są podobne. Z twierdzenia Talesa:

\frac{|BX|}{|AE|} = \frac{|BF|}{|FA|} czyli |XB|=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot |AE|

Trójkąty \triangle CED i \triangle BXD są podobne. Zatem jest:

\frac{|CE|}{|XB|} = \frac{|DC|}{|DB|} czyli \frac{1}{|XB|}=\frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{1}{|CE|}

Po pomnożeniu stronami otrzymanych równości prawdziwa jest równość

1=\frac{|BF|}{|FA|} \cdot \frac{|DC|}{|DB|} \cdot \frac{|AE|}{|CE|},

co kończy dowód. W przypadku, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach boków trójkąta, rozumowanie jest analogiczne.

[edytuj] Twierdzenie odwrotne

Twierdzenie odwrotne do twierdzenia Menelaosa również jest prawdziwe:

Jeżeli na bokach AB i BC trójkąta \triangle ABC dane są punkty E i D, a na przedłużeniu boku AC punkt F tak, że:
|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE|,
to punkty D,E,F są współliniowe.

Analogicznie, gdy wszystkie punkty D,E,F leżą na przedłużeniach odpowiednich boków.

[edytuj] Dowód

Dowód nie wprost: niech dla pewnych niewspółliniowych punktów zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF| = |BD| \cdot |AF| \cdot |CE| (1)

oraz D,E leżą na bokach trójkąta, zaś F na prostej AB poza bokiem.

Wtedy można wybrać taki punkt F' \ne F, że D,E,F' są współliniowe. Wtedy z twierdzenia Menelaosa zachodzi

|AE| \cdot |CD| \cdot |BF'| = |BD| \cdot |AF'| \cdot |CE|.

Zatem dla dwóch różnych punktów F,F' leżących na prostej AB poza odcinkiem AB zachodzi

\frac{|AF'|}{|BF'|}=\frac{|AF|}{|BF|},

co jest sprzeczne.

Dlatego jeżeli punkty D,E,F spełniają równość (1), to są współliniowe. Gdy wszystkie trzy punkty leżą poza bokami trójkąta, to dowód jest analogiczny.

[edytuj] Zobacz też


19-latka zaatakowana nożem w głowę nie przeżyła
Do ataku doszło na 19-latkę doszło w piątek w Sieradzu. Dziewczynę zaatakował prawdopodobnie chłopak, który zabiegał o jej względy. Pomimo wielogodzinnej operacji nie udało się uratować dziewczyny. Rana była zbyt duża - informuje serwis tvn24.pl
Premier też rozmawiał z kanclerz Niemiec
Premier Donald Tusk rozmawiał z kanclerz Angelą Merkel na temat stanowiska wobec konfliktu w Gruzji, odbył także na ten temat telefoniczną rozmowę z premier Ukrainy Julią Tymoszenko - poinformował dyrektor Centrum Informacyjnego Rządu Jacek Filipowicz.
"Program Polski solidarnej musi być zrealizowany"
Jestem przekonamy, że program Polski solidarnej jest do zrealizowania i musi zostać zrealizowany - mówił prezydent Lech Kaczyński, podczas międzynarodowej konferencji "Solidarność Świata. Globalizacja i solidarność a nauczanie Jana Pawła II".
Manifestacje za i przeciw tarczy w Polsce
Przeciwnicy i zwolennicy rozmieszczenia w Polsce elementów systemu amerykańskiej tarczy antyrakietowej manifestowali obok siebie w centrum Białegostoku. - Referendum w sprawie tarczy! - krzyczeli jedni. - Tak dla tarczy! - skandowali drudzy.
"Solidarność narodziła się z tego pontyfikatu"
Ojciec Święty ciągle nas podprowadzał pod solidarność, która jest sposobem rozwiązywania problemów społecznych i poszanowania ludzkiej godności. Także solidarność przez duże "S" narodziła się z tego pontyfikatu - powiedział w sobotę metropolita warszawski abp Kazimierz Nycz.
Linki: Strona g³ówna