Twierdzenie Napoleona

Z Wikipedii

Ilustracja Twierdzenia Napoleona

Twierdzenie Napoleona – twierdzenie geometryczne orzekające, że:

ortocentra trójkątów równobocznych zbudowanych na bokach dowolnego trójkąta są wierzchołkami trójkąta równobocznego.

Tradycyjnie przypisuje się je Napoleonowi Bonaparte, choć nie ma żadnych dowodów na jego wkład w sformułowanie bądź udowodnienie twierdzenia.

[edytuj] Dowód

Niebieskie odcinki leżą jednocześnie na wysokościach i dwusiecznych trójkątów równobocznych

Ponieważ trójkąty zbudowane na bokach trójkąta $\triangle ABC$ są równoboczne, to kąty zaznaczone na rysunku na czerwono mają miarę 30° oraz

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|} = \frac{|CL|}{|BC|} = \frac{\sqrt{3}}{3}$ .

Stąd

$\sphericalangle MAN = \sphericalangle CAZ$ .

Ponieważ

$\frac{|AM|}{|AC|} = \frac{|AN|}{|AB|}$ ,

więc $\triangle AMN$ i $\triangle ACZ$ są podobne. Zatem

$|MN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Analogicznie pokazujemy, że $\triangle BLN$ i $\triangle BCZ$ są podobne, więc

$|LN| = |CZ| \cdot \frac{\sqrt{3}}{3}$

Stąd $| L N | = | M N |$ . Analogicznie pokazujemy, że $| L N | = | L M |$ , więc $\triangle LMN$ jest równoboczny.

[edytuj] Zobacz też

Ponieważ treść tego artykułu związanego z geometrią ma formę zaledwie zalążkową, pomóż nam ją rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródłami.
Prosimy, zapoznaj się najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.

iPody wybuchają

Rzadka usterka w odtwarzaczach iPod Nano pierwszej generacji jest powodem paniki wśród ich japońskich właścicieli.

Udostępniaj bezprzewodowo

Firma Kensington zaprezentowała bezprzewodową stację dokującą.

Nowy Classmate PC

W Internecie pojawiły się zdjęcia i informacje o najnowszym netbooku Classmate PC zaprojektowanym głównie przez korporację Intel.

Ekstremalna płyta Gigabyte’a

GA-X58-Extreme – tak brzmi nazwa najnowszej płyty głównej zaprezentowanej przez firmę Gigabyte.

Nowa odsłona Sidewinder

Microsoft zaprezentował najnowszą wersję urządzeń z serii Sidewinder - klawiaturę X6 oraz mysz X5.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Twierdzenie Napoleona

Z Wikipedii

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też