Twierdzenie Ptolemeusza

Z Wikipedii

Twierdzenie Ptolemeusza – opisuje czworokąt wpisany w okrąg. Jego sformułowanie oraz dowód przypisuje się Klaudiuszowi Ptolemeuszowi, wybitnemu astronomowi i matematykowi starożytnemu.

[edytuj] Teza

W dowolnym czworokącie $A B C D$ wpisanym w okrąg iloczyn długości przekątnych równy jest sumie iloczynów długości przeciwległych boków:

$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|$ .

Dla czworokątów, które nie dają się wpisać w okrąg, iloczyn długości przekątnych jest mniejszy od sumy iloczynów długości boków przeciwległych. Jest to tzw. nierówność Ptolemeusza:

$|AC| \cdot |BD| < |AB| \cdot |CD| + |BC| \cdot |AD|$ .

[edytuj] Dowód

Weźmy dowolny czworokąt $A B C D$ wpisany w okrąg. Umieśćmy punkt $K$ na przekątnej $A C$ tak, że półprosta $B K$ przecina przekątną $A C$ tak, aby $\angle ABD = \angle KBC$ . W wyniku tego otrzymaliśmy trójkąty $Δ A B D$ i $Δ K B C$ .

Warto zauważyć, że $\angle ABD = \angle KBC$ (z konstrukcji) oraz $\angle ADB = \angle KCB$ , ponieważ kąty te są kątami wpisanymi opartymi na tym samym łuku. Trójkąty $Δ A B D$ i $Δ K B C$ są więc podobne i mamy

| K C | : | A D | = | B C | : | B D |

,

skąd

$|KC| \cdot |BD| = |AD| \cdot |BC|$ .

Widać, że trójkąty $Δ A B K$ i $Δ D B C$ , mające równe kąty $\angle ABK$ i $\angle DBC$ oraz kąty $\angle BAC$ i $\angle BDC$ (kąty wpisane oparte na tym samym łuku) są do siebie podobne. Odpowiednie boki są więc do siebie proporcjonalne:

| A K | : | D C | = | A B | : | B D |

,

zatem

$|AK| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC|$ .

Sumując ze sobą równości $|KC| \cdot |BD| = |AD| \cdot |BC|$ oraz $|AK| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC|$ , otrzymujemy

$|AK| \cdot |BD| + |KC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|$ ,

co w konsekwencji daje

$(|AK| + |KC|) \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|$

i ostatecznie

$|AC| \cdot |BD| = |AB| \cdot |DC| + |AD| \cdot |BC|$ ,

co należało wykazać.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki

.

Olejnik i Kolenda-Zaleska na Kongresie Kultury Chrześcijańskiej

We wrześniu na Katolickim Uniwersytecie Lubelskim Jana Pawła II odbędzie się III Kongres Kultury Chrześcijańskiej. Tegoroczny kongres, obok wielu wybitnych świeckich i duchownych naukowców oraz działaczy religijnych z kraju i zagranicy, zgromadzi całą plejadę postaci medialnych związanych głownie ze środowiskiem "Gazety Wyborczej", "Tygodnika Powszechnego", "Więzi" i "Znaku" - pisze "Nasz Dziennik".

SDP apeluje o ochronę godności dziennikarzy

Stowarzyszenie Dziennikarzy Polskich - w związku z rezygnacją TV Puls z programu informacyjnego "Puls Raport" - apeluje do całego dziennikarskiego środowiska "o poparcie protestu przeciwko działaniom naruszającym godność naszego zawodu".

"Panorama" TVP2 od jesieni jeszcze później

Główne wydanie "Panoramy", informacyjnego programu telewizyjnej Dwójki, od jesieni będzie emitowana jeszcze później niż teraz. Serwis przeniesiono z godz. 24 na w pół do pierwszej w nocy.

"Spiegel" i "Bild" najczęściej cytowane w Niemczech

Tygodnik opinii "Spiegel" i tabloid "Bild" były najczęściej cytowanymi tytułami w niemieckich mediach w pierwszym półroczu br. – wynika z raportu instytutu badawczego Media Tenor.

Łemkowskie kolumny w "Polsce Gazecie Krakowskiej"

Dziś w cotygodniowym dodatku do "Polski Gazety Krakowskiej" (Polskapresse) – "Gazecie Gorlickiej" - ukażą się trzy kolumny w języku łemkowskim.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia

Twierdzenie Ptolemeusza

Z Wikipedii

[edytuj] Teza

[edytuj] Dowód

[edytuj] Zobacz też