Twierdzenie Riemanna

Z Wikipedii

Spis treści

1 Twierdzenie
2 Przykład
3 Zobacz też
4 Linki zewnętrzne

Twierdzenie Riemanna – twierdzenie w analizie matematycznej autorstwa Berharda Riemanna mówiące o tym, że jeżeli szereg jest warunkowo zbieżny, to jego wyrazy można poprzestawiać w taki sposób, aby nowo otrzymany szereg był zbieżny do dowolnej liczby, a nawet był rozbieżny.

[edytuj] Twierdzenie

Załóżmy, że

$\left( a_1, \ a_2, \ a_3, \dots \right)$

jest ciągiem liczb rzeczywistych oraz, że $\sum_{n=1}^\infty a_n$ is warunkowo zbieżny. Niech $M$ będzie liczbą rzeczywistą. Wtedy istnieje permutacja $σ(n)$ ciągu taka, że $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = M.$

Istnieje rówież permutacja $σ(n)$ taka, że $\sum_{n=1}^\infty a_{\sigma (n)} = \pm\infty.$ . Wyrazy szeregu można ustawić również w takiej kolejności, że szereg nie ma żadnej granicy (ani skończonej, ani nieskończonej).

[edytuj] Przykład

Szereg

$1 - \tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^\infty~{(-1)^{n+1} \over n}$ ,

nazwany szeregiem Leibniza jest zbieżny warunkowo do $ln2$ na mocy kryterium Leibniza (nie jest bezwzględnie, gdyż szereg wartości bezwzględnych jego wyrazów jest rozbieżnym szeregiem harmonicznym). Zarówno szereg składników dodatnich

$1 + \tfrac{1}{3} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} + \dots$ ,

jak i szereg składników ujemnych $\tfrac{1}{2} + \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} + \tfrac{1}{8} + \dots$ są rozbieżne do $+\infty$ .

Oznaczmy sumę jego wyrazów przez $S$ . Wyrazy tego ciągu możemy pogrupować parami:

$S = (1 - \tfrac{1}{2}) + (\tfrac{1}{3} - \tfrac{1}{4}) + (\tfrac{1}{5} - \tfrac{1}{6}) + \dots$ ,

a następnie pomnożyć wszystkie przez $1 \over 2$ otrzymując

$\tfrac{1}{2}S = \tfrac{1}{2} - \tfrac{1}{4} + \tfrac{1}{6} - \tfrac{1}{8} + \tfrac{1}{10} + \dots$ .

Dodając do siebie oba powyższe szeregi mamy

$\tfrac{3}{2}S = 1 + \tfrac{1}{3} - \tfrac{2}{4} + \tfrac{1}{5} + \tfrac{1}{7} - \tfrac{2}{8} + \dots$ .

Ostatecznie, powyższy szereg składa się z tych samych wyrazów co szereg pierwotny, ale jego suma jest o połowę większa. Jest to możliwe, ponieważ rozważany szereg nie jest bezwzględnie zbieżny.

[edytuj] Zobacz też

przegląd zagadnień z zakresu matematyki.

[edytuj] Linki zewnętrzne

przykład zbieżności szeregu Leibniza do $\tfrac{1}{2}\ln 2$

Ponieważ to hasło związane z matematyką ma formę zaledwie zalążkową, pomóż nam je rozbudować, o ile dysponujesz odpowiednimi źródłami.
Prosimy, zapoznaj się najpierw z zasadami oraz zaleceniami edytowania Wikipedii.

Invoptic ma zgodę UOKiK na przejęcie spółki JZO

Firma Invoptic ma zgodę Urzędu Ochrony Konkurencji i Konsumentów (UOKiK) na przejęcie kontroli nad spółką JZO. Firmy działają w branży optycznej.

Spadek indeksu zaufania inwestorów w Szwajcarii

Wskaźnik zaufania inwestorów w Szwajcarii spadł w sierpniu z powodu obaw, że spowolnienie wzrostu gospodarczego w Europie osłabi popyt na towary eksportowane ze Szwajcarii.

Bagsik powraca z nową aferą

To Bogusław Bagsik od początku stał za spółką Digit Serve, podejrzewaną o oszustwa i nielegalną działalność maklerską - pisze "Puls Biznesu". Gazeta odkryła w brytyjskim rejestrze handlowym dokumenty dowodzące, że założycielem firmy był bohater afery Art-B.

Wzrósł wskaźnik koniunktury bankowej

Wskaźnik koniunktury bankowej Pengab wzrósł w sierpniu o 3,0 pkt m/m do 37,1 pkt, wynika z "Monitora Bankowego" opublikowanego dziś przez firmę badawczą Pentor. W porównaniu do sierpnia 2007 roku wskaźnik ten jest wyższy o 0,6 pkt.

Organika-Sarzyna otwiera nową instalację do produkcji żywic poliestrowych

W należących do Ciechu Zakładach Chemicznych Organika-Sarzyna uruchomiono nową instalację do produkcji żywic poliestrowych, która docelowo zapewni spółce 60 mln zł dodatkowych przychodów rocznie - poinformował Ciech w komunikacie prasowym.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia