Ultraprodukt

Z Wikipedii

Ultraprodukt - sposób budowania nowych modeli z danej rodziny modeli. Ultraprodukty są używane i badane w teorii modeli, teorii mnogości i algebrze. Szczególnym przypadkiem ultraproduktów są ultrapotęgi (w których używa się tylko jednego modelu wyjściowego).

Spis treści

1 Uwagi historyczne
2 Definicja
3 Przykładowe wyniki i zastosowania
4 Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli
5 Bibliografia
6 Zobacz też

[edytuj] Uwagi historyczne

Niektórzy matematycy twierdzą, że już dowód Kurta Gödla twierdzenia o zupełności rachunku kwantyfikatorów (logiki pierwszego rzędu) z 1930^[1] można zinterpretować jako konstrukcję ultrapotęgi^[2]. Również konstrukcje rozważane przez Edwina Hewitta w 1948^[3] w związku z ciałami rzeczywiście domkniętymi są uznawane za prekursorów ultraproduktów.

Pierwsza systematyczna i ogólna prezentacja ultraproduktów jako narzędzia w teorii modeli była dana przez polskiego matematyka Jerzego Łosia w 1955^[4].

[edytuj] Definicja

Niech $τ$ będzie alfabetem języka pierwszego rzędu, czyli zbiorem symboli funkcyjnych i predykatów (symboli relacyjnych). Interpretację symbolu relacyjnego $R\in \tau$ w modelu ${\mathbb M}$ będziemy oznaczać przez $R^{\mathbb M}$ (tak więc $R^{\mathbb M}$ jest relacją n-arną na uniwersum M modelu ${\mathbb M}$ , gdzie n jest arnością symbolu relacyjnego R). Podobnie, jeśli $f\in \tau$ jest n-argumentowym symbolem funkcyjnym, to jego interpretacja w modelu ${\mathbb M}$ będzie oznaczana przez $f^{\mathbb M}$ (tak więc, $f^{\mathbb M}$ jest funkcją z $M n$ w $M$ ). Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ wyznaczonego przez alfabet $τ$ .

Załóżmy, że I jest zbiorem nieskończonym oraz F jest filtrem podzbiorów I. Przypuśćmy też, że dla każdego $i\in I$ ustaliliśmy model ${\mathbb M}_i$ z uniwersum $M i$ .

Definiujemy produkt zredukowany $\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}_i/F$ rodziny modeli $\{{\mathbb M}_i:i\in I\}$ w sposób następujący.

(a) Na produkcie kartezjańskim $N=\prod\limits_{i\in I}M_i$ określamy relację dwuczłonową $\equiv$ przez

$\eta\equiv\nu$ wtedy i tylko wtedy gdy ( $\eta,\nu\in N$ oraz) $\{i\in I:\eta(i)=\nu(i)\}\in F$

Łatwo można sprawdzić, że $\equiv$ relacją równoważności. Niech $M=N/\equiv$ będzie zbiorem klas abstrakcji relacji $\equiv$ .

(b) Jeśli $R\in\tau$ jest n-arnym symbolem relacyjnym, to określamy jego interpretację $R^{\mathbb M}$ naastępująco:

$([\eta_1]_{\equiv},[\eta_2]_{\equiv},\ldots,[\eta_n]_{\equiv})\in R^{\mathbb M}$ wtedy i tylko wtedy gdy ( $\eta_1,\ldots,\eta_n\in N$ oraz) $\{i\in I: (\eta_1(i),\eta_2(i),\ldots,\eta_n(i))\in R^{{\mathbb M}_i}\}\in F$ .

Należy zauważyć, że jeśli $\eta_1,\eta_1',\eta_2,\eta_2',\ldots,\eta_n,\eta_n'\in N$ są takie, że $\eta_k\equiv\eta_k'$ (dla $k=1,\ldots,n$ ), to $\{i\in I:\eta_1(i)=\eta_1'(i)\ \wedge\ \eta_2(i)=\eta_2'(i)\ \wedge\ \ldots\ \wedge\ \eta_n(i)=\eta_n'(i)\}\in F$ . Stąd łatwo wnioskujemy, że powyższa definicja relacji $R^{\mathbb M}$ jest poprawna, tzn nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

(c) Jeśli $f\in\tau$ jest n-arnym symbolem funkcyjnym, to określamy jego interpretację $f^{\mathbb M}$ następująco:

przypuśćmy, że $[\eta_1]_{\equiv},[\eta_2]_{\equiv},\ldots,[\eta_n]_{\equiv}\in M$ . Połóżmy $\eta(i)=f^{{\mathbb M}_i}(\eta_1(i),\ldots,\eta_n(i))$ dla $i\in I$ (tak więc $\eta\in N$ ). Określamy $f^{\mathbb M}([\eta_1]_{\equiv},\ldots,[\eta_n]_{\equiv})=[\eta]_{\equiv}$ .

Tak jak wcześniej, zauważamy, że jeśli $\eta_1,\eta_1',\eta_2,\eta_2',\ldots,\eta_n,\eta_n'\in N$ są takie, że $\eta_k\equiv\eta_k'$ (dla $k=1,\ldots,n$ ), to $\{i\in I:f^{{\mathbb M}_i}(\eta_1(i),\ldots,\eta_n(i))=f^{{\mathbb M}_i}(\eta_1'(i),\ldots,\eta_n'(i))\}\in F$ , a więc powyższa definicja funkcji $f^{\mathbb M}$ jest poprawna, tzn nie zależy od wyboru reprezentantów klas abstrakcji.

Produkt zredukowany $\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}_i/F$ to model z uniwersum $M=N/\equiv$ w którym interpretacje symboli z alfabetu $τ$ dane są przez opis w (b) i (c).

Jeśli F jest ultrafiltrem (tzn maksymalnym filtrem właściwym), to model $\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}_i/F$ jest nazywany ultraproduktem rodziny modeli $\{{\mathbb M}_i:i\in I\}$ .

Jeśli F jest ultrafiltrem oraz ${\mathbb M}_i={\mathbb M}$ dla wszystkich $i\in I$ (czyli wszystkie modele są identyczne), to model $\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}_i/F=\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}/F$ jest nazywany ultrapotęgą modelu ${\mathbb M}$ . W przypadku ultrapotęg modeli, często używamy notacji ${\mathbb M}^I/F$ zamiast $\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}/F$ .

[edytuj] Przykładowe wyniki i zastosowania

Twierdzenie Łosia:

Przypuśćmy, że

τ

jest alfabetem języka pierwszego rzędu, F jest ultrafiltrem na zbiorze I, ${\mathbb M}_i$ jest modelem języka ${\mathcal L}(\tau)$ (dla $i\in I$ ) oraz $\varphi(x_1,\ldots,x_n)$ jest formułą języka ${\mathcal L}(\tau)$ której zmienne wolne zawarte są wśród $x_1,\ldots,x_n$ . Niech $\eta_1,\ldots,\eta_n\in \prod\limits_{i\in I} M_i$ . Wówczas

$\prod\limits_{i\in I}{\mathbb M}_i/F\models \varphi[[\eta_1]_\equiv,\ldots,[\eta_n]_\equiv]$ wtedy i tylko wtedy gdy $\{i\in I:{\mathbb M}_i\models \varphi[\eta_1(i),\ldots,\eta_n(x)]\}\in F$ .

Założmy że $τ, F, I$ są jak powyżej, ${\mathbb M}$ jest modelem języka ${\mathcal L}(\tau)$ . Dla $z\in M$ niech $\eta_z\in M^I$ będzie funkcją stałą daną przez $η z (i) = z$ (dla $i\in I$ ) oraz niech $g(z)=[\eta_z]_\equiv\in M^I/\equiv$ . Wówczas funkcja $g$ jest zanurzeniem elementarnym modelu ${\mathbb M}$ w jego ultrapotęgę ${\mathbb M}^I/F$ , tzn $g:M\longrightarrow M^I/\equiv$ jest funkcją różnowartościową oraz

${\mathbb M}\models\varphi[z_1,\ldots,z_n]$ wtedy i tylko wtedy gdy ${\mathbb M}^I/F\models\varphi[g(z_1),\ldots,g(z_n)]$ .

W szczególności, ultrapotęga ${\mathbb M}^I/F$ jest elementarnie równoważna z ${\mathbb M}$ (tzn te same zdania są spełnione w jednym modelu co i w drugim).

Z twierdzenia Łosia łatwo wnioskujemy że:

każdy ultraprodukt grup jest grupą,
ultraprodukt ciał jest ciałem, ultraprodukt ciał uporządkowanych jest ciałem uporządkowanym,
ultraprodukt algebr Boole'a jest algebrą Boole'a,
ultraprodukt porządków częściowych jest porządkiem częściowym, ultraprodukt porządków liniowych jest porządkiem liniowym.

Ultraprodukt nieskończonych dobrych porządków jest dobrym porządkiem wtedy i tylko wtedy gdy użyty ultrafiltr jest σ-zupełny. (Przypomnijmy, że istnienie niegłównych σ-zupełnych ultrafiltrów na zbiorze nieskończonym jest równoważne z istnieniem liczby mierzalnej.)
Ultrapotęgi uniwersum teorii mnogości V przy użyciu zupełnych ultrafiltrów są używane w badaniach dużych liczb kardynalnych. Ultrapotęgi są też używane do konstrukcji niestandardowych modeli arytmetyki Peano (PA) czy też modeli analizy niestandardowej^[5]. W tym ostatnim kontekscie warto zacytować następujący wynik:
Twierdzenie Rabina-Keslera^[6]^[7]: Niech τ będzie przeliczalnym alfabetem. Załóżmy, że κ jest liczbą kardynalną na której nie istnieją ultrafiltry σ-zupełne. Wówczas

każdy model z uniwersum mocy κ ma właściwe elementarne rozszerzenie do modelu z uniwersum mocy κ wtedy i tylko wtedy gdy $\kappa^{\aleph_0}=\kappa$ .

[edytuj] Charakteryzacja elementarnie równoważnych modeli

Niech τ będzie przeliczalnym alfabetem. Poniżej, każde użycie słowa model oznacza model języka pierwszego rzędu ${\mathcal L}(\tau)$ wyznaczonego przez alfabet $τ$ .

Twierdzenie Keislera o ultrapotęgach^[8]: Załóżmy GCH. Niech ${\mathbb M}_0$ , ${\mathbb M}_1$ będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej $κ +$ . Wówczas

${\mathbb M}_0$ jest elementarnie równoważny z ${\mathbb M}_1$ wtedy i tylko wtedy gdy

istnieją ultrafiltry

F, G

na

κ

takie że ultrapotęgi $({\mathbb M}_0)^\kappa/F$ i $({\mathbb M}_1)^\kappa/G$ są izomorficzne.

Twierdzenia Shelaha^[9]^[10]:

Niech ${\mathbb M}_0$ , ${\mathbb M}_1$ będą modelami o uniwersach mocy co najwyżej $κ$ . Wówczas

${\mathbb M}_0$ jest elementarnie równoważny z ${\mathbb M}_1$ wtedy i tylko wtedy gdy

istnieją ultrafiltry

F, G

na

2 κ

takie że ultrapotęgi $({\mathbb M}_0)^{2^\kappa}/F$ i $({\mathbb M}_1)^{2^\kappa}/G$ są izomorficzne.

W szczególności, dwa modele są elementarnie równoważne wtedy i tylko wtedy gdy mają izomorficzne ultrapotęgi.

Twierdzenia Keislera nie można udowodnić tylko w systemie ZFC, bez założenia GCH, bo następujące zdanie jest niesprzeczne z ZFC:

Istnieją elementarnie równoważne przeliczalne grafy

G 0, G 1

takie, że żadne ich ultrapotęgi

(G 0) ω / F 0

,

(G 1) ω / F 1

nie są izomorficzne.

Warto zauważyć, że dowód powyższego twierdzenia (w którym Shelah skonstruwał odpowiednie pojęcie forsingu) okazał się być bardzo stymulujący dla późniejszego rozwoju teorii forsingu i teorii forsingów proper.

[edytuj] Bibliografia

↑ Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. "Monatshefte f. Math", 37 (1930), s. 349-360.
↑ Bell, J. L.; Slomson, A. B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.
↑ Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. "Trans. Amer. Math. Soc." 64 (1948), s. 45-99.
↑ Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. "Mathematical interpretation of formal systems", North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98-113.
↑ Robinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. ISBN 0-691-04490-2.
↑ Rabin, M. O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. "Indag. Math." 21 (1959), s. 439-446.
↑ Keisler, H. J.: Limit ultrapowers. "Trans. Amer. Math. Soc." 107 (1963), s. 382-408.
↑ Keisler, H. J.: Ultraproducts and elementary classes. "Indag. Math." 23 (1961), s. 477-495.
↑ Shelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233
↑ Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357-405.

[edytuj] Zobacz też

Kalisz: Kaczyński zyska na odejściu Fotygi

Poseł Lewicy Ryszard Kalisz uważa, że Anna Fotyga była złym szefem Kancelarii Prezydenta i Lech Kaczyński na jej odejściu może tylko zyskać.

Lubuskie ma nowego marszałka

Marcin Jabłoński (PO) został wybrany przez radnych Sejmiku Lubuskiego na marszałka województwa. Zastąpi na tym stanowisku odwołanego na tej samej sesji, Krzysztofa Szymańskiego (PO).

Palikot nie wycofuje wypowiedzi o prezydencie

Poseł PO Janusz Palikot powiedział w Lublinie, że nie wycofuje się ze swojej wypowiedzi dotyczącej prezydenta Lecha Kaczyńskiego.

Palikot: oszczędzam 20 tys. zł na łamaniu prawa

Poseł Janusz Palikot (PO) rozpoczął malowanie elewacji swojego zabytkowego domu na Starym Mieście w Lublinie. Robi to bez wymaganych prawem zezwoleń, które uważa za absurdalne.

Więzienia CIA w Polsce? Ruszyło tajne śledztwo

Jak dowiedziało się Radio Zet sprawą domniemanego przetrzymywania w kraju terrorystów z al-Kaidy zajmuje się Prokuratura Krajowa. Tajne postępowanie w tej sprawie od 3 tygodni prowadzi Biuro Przestępczości Zorganizowanej Prokuratury Krajowej. Nadzoruje je bezpośrednio Prokurator Krajowy Marek Staszak.

Linki: Strona g��wna

[0] Gödel, K.: Die Vollständigkeit der Axiome des logischen Funktionenkalküls. "Monatshefte f. Math", 37 (1930), s. 349-360.

[1] Bell, J. L.; Slomson, A. B.: Models and ultraproducts: An introduction. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-London, 1969, s. 259.

[2] Hewitt, E.: Rings of real-valued continuous functions. I. "Trans. Amer. Math. Soc." 64 (1948), s. 45-99.

[3] Łoś, J.: Quelques remarques, théorèmes et problèmes sur les classes définissables d'algèbres. "Mathematical interpretation of formal systems", North-Holland Publishing Co., Amsterdam, 1955, s. 98-113.

[4] Robinson, A.: Non-standard analysis. Princeton Landmarks in Mathematics. Princeton University Press, Princeton, NJ, 1996. ISBN 0-691-04490-2.

[5] Rabin, M. O.: Arithmetical extensions with prescribed cardinality. "Indag. Math." 21 (1959), s. 439-446.

[6] Keisler, H. J.: Limit ultrapowers. "Trans. Amer. Math. Soc." 107 (1963), s. 382-408.

[7] Keisler, H. J.: Ultraproducts and elementary classes. "Indag. Math." 23 (1961), s. 477-495.

[8] Shelah, Every two elementarily equivalent models have isomorphic ultrapowers -- Israel J Math 10 (1971) 224-233

[9] Shelah, S.: Vive la différence. I. Nonisomorphism of ultrapowers of countable models. [w:] Set theory of the continuum (Berkeley, CA, 1989), Math. Sci. Res. Inst. Publ., 26. Springer, New York, 1992, s. 357-405.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

Encyklopedia