Miara wektorowa - Google

Miara wektorowa

Z Wikipedii

(Przekierowano z Wahanie miary wektorowej)
Skocz do: nawigacji, szukaj

Spis treści

Miara wektorowa – addytywna funkcja zbiorów określona na ciele zbiorów o wartościach w przestrzeni unormowanej. Miara wektorowa nie jest miarą. Dla miar wektorowych, podobnie jak dla miar, definiuje się pojęcie całki.

[edytuj] Definicja

Jeśli \mathcal{F} jest ciałem zbiorów oraz E przestrzenią unormowaną, to funkcję \nu\colon \mathcal{F}\to E, spełniającą warunek

\nu(A\cup B)=\nu(A)+\nu(B)

dla wszelkich rozłącznych zbiorów A,B\in\mathcal{F}, nazywamy miarą wektorową.[1]


Jeśli \mathfrak{M} jest σ-ciałem podzbiorów zbioru M, to funkcję \nu\colon \mathfrak{M}\to E nazywamy miarą wektorową przeliczalnie addytywną, gdy dla każdego ciągu (A_n)_{n\in\mathbb{N}} zbiorów parami rozłącznych z σ-ciała \mathfrak{M} spełniony jest warunek:

\nu(\bigcup_{n=1}^{\infty}A_n)=\sum_{n=1}^{\infty}\nu(A_n)

[edytuj] Wahanie i półwahanie

Jeżeli \nu\colon \mathcal{F}\to E jest miarą wektorową, to funkcję |\nu |\colon \mathcal{F}\to [0,\infty] określoną wzorem

|\nu|(A)=\sup\{\sum_{P\in \Pi}\|\nu(P)\|\colon \Pi\}, gdzie \Pi\subset\mathcal{F} jest skończoną rodziną zbiorów parami rozłącznych taką, że \bigcup\Pi=A.

nazywamy wahaniem miary wektorowej ν.

Funkcję \|\nu \|\colon \mathcal{F}\to [0,\infty], określoną wzorem

\|\nu\|(A)=\sup\{|x^\star\circ \nu |(A)\colon x^\star \in E^\star, \|x^\star \|\leq 1\}

nazywamy półwahaniem miary wektorowej ν.

Mówimy, że wahanie ograniczone, jeśli jego wartość od całej przestrzeni jest skończona.

[edytuj] Własności

  • Jeżeli \mathfrak{M} jest σ-ciaÅ‚em podzbiorów zbioru M, a \nu\colon \mathfrak{M}\to\mathbb{R} jest przeliczalnie addytywnÄ… funkcjÄ… zbiorów, to
|\nu|=\|\nu\|=\nu^++\nu^-, gdzie ν + ,ν − , to odpowiednio wahanie górne i dolne.
  • Wahanie miary wektorowej jest addytywnÄ… funkcjÄ… zbiorów. Wahanie miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest miarÄ….
  • Półwahanie miary wektorowej jest funkcjÄ… podaddytywnÄ… i monotonicznÄ… funkcjÄ… zbiorów.
  • Jeżeli ν jest miarÄ… wektorowÄ…, to \|\nu\|\leq |\nu|.
  • Miara wektorowa o ograniczonym wahaniu jest przeliczalnie addytywna wtedy i tylko wtedy, gdy jej wahanie jest przeliczalnie addytywne.
  • Niech \mathfrak{M}=\sigma(\mathcal{F}) (σ-ciaÅ‚o generowane przez ciaÅ‚o \mathcal{F}; porównaj: definicjÄ™). JeÅ›li \nu\colon \mathfrak{M}\to E jest przeliczalnie addytywnÄ… miarÄ… wektorowÄ… o ograniczonym wahaniu, to dla każdego A\in\mathcal{F} zachodzi równość: |\nu|_{\mathcal{F}}|(A)=|\nu|(A).
  • Jeżeli wahanie miary wektorowej ν jest miarÄ… skoÅ„czonÄ…, to ν jest miarÄ… wektorowÄ… przeliczalnie addytywnÄ….
  • Zbiór wartoÅ›ci miary wektorowej przeliczalnie addytywnej jest ograniczony.
  • Twierdzenie Dieudonné-Grothendiecka.

[edytuj] Przykłady

Miara wektorowa (skończenie addytywna).
Niech T\colon L_{\infty}[0,1]\to X będzie ciągłym operatorem liniowym. Dla każdego mierzalnego (w sensie Lebesgue'a) podzbioru A\subset [0,1] określmy odwzorowanie

ν(A) = T(χA), gdzie χA jest funkcją charakterystyczną.

Miara wektorowa przeliczalnie addytywna.
Niech T\colon L_{1}[0,1]\to X będzie ciągłym operatorem liniowym. Funkcja ν dana wzorem jak w powyższym przykładzie jest przeliczalnie addytywna. Ponadto można wykazać, że dla każdego A\subset [0,1]

\|\nu(A)\|\leq l(A)\|T\|, gdzie l jest miarÄ… Lebesgue'a.

Wówczas, także \|\nu\|(A)\leq l(A)\|T\|, co dowodzi, że ν jest miarą wektorową o ograniczonym wahaniu.

Miara wektorowa o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.
Niech \mathcal{L}|_{[0,1]} będzie σ-ciałem podzbiorów zbioru [0,1] mierzalnych w sensie Lebesgue'a. Funkcja \nu\colon \mathcal{L}|_{[0,1]}\to L_{\infty}[0,1] dana wzorem

ν(A) = χA, dla A\in \mathcal{L}|_{[0,1]} jest miara wektorową o ograniczonym półwahaniu, której wahanie nie jest ograniczone.

Miara wektorowa o nieograniczonym półwahaniu.
Niech \mathcal{F}=\{A\subseteq \mathbb{N}\colon |A|<\aleph_0 \vee |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\}. Funkcja \nu\colon \mathcal{F}\to \mathbb{R} dana wzorem

\nu(A)=\left\{\begin{array}{ll}|A|,& |A|<\aleph_0\\-|A|,& |\mathbb{N}\setminus A|<\aleph_0\end{array}\right. jest miarą wektorową o nieograniczonym półwahaniu.

Wykazanie rzeczonych własności Czytelnik znajdzie w [2].

[edytuj] Bibliografia

  1. ↑ Tsoy-Wo Ma: Banach-Hilbert Spaces, Vector Measures and Group Representations. Providence, Rhode Island: World Scientific Pub Co Inc., 2002. 
  2. ↑ Diestel J., Uhl J.J: Vector Measures. Providence, Rhode Island: American Mathematical Society, 1977, ss. 1-3. 

[edytuj] Zobacz też


Urządzenie, które wykryje twoje nerwy przed tobą
Przenośne urządzenie ma pozwolić na kontrolowanie zdrowia psychicznego astronautów - informuje "New Scientist".
Statki wolą zrzucać ścieki do Bałtyku niż do portów
Pływające po Bałtyku statki wycieczkowe mogą, w świetle prawa, zrzucać ścieki prosto do morza. Poza związkami azotu i fosforu do wody dostają się bakterie, wirusy i metale ciężkie. Morze Bałtyckie jest jednym z najmniejszych na świecie, jest akwenem śródlądowym z niewielką możliwością wymiany swoich wód. Następuje ona średnio co 30 lat.
Naukowcy dowodzą: miłość naprawdę jest ślepa
Miłość jest ślepa - odkrył kiedyś Szekspir. Badania naukowców potwierdzają to twierdzenie bowiem wykazały, że dla osób zakochanych atrakcyjność innych kobiet czy mężczyzn maleje.
Kawa zwiększa ryzyko bezpłodności
Zbyt dużo kawy może zmniejszać szanse na poczęcie dziecka u kobiet, które mają problemy z płodnością - ostrzegają naukowcy.
System analizowania wstrząsów sejsmicznych
Dzięki 24 najwyższej klasy stacjom sejsmicznym uwadze polskich naukowców nie ujdzie żaden wstrząs, a prognozowanie aktywności sejsmicznej pozwoli bezpiecznie lokować ważne obiekty, na przykład elektrownie atomowe - uznano na konferencji zorganizowanej w Instytucie Geofizyki Polskiej Akademii Nauk.
Linki: Strona g³ówna