Wariancja

Z Wikipedii

Wariancja to w statystyce klasyczna miara zmienności. Intuicyjnie utożsamiana ze zróżnicowaniem zbiorowości; jest średnią arytmetyczną kwadratów odchyleń (różnic) poszczególnych wartości cechy od wartości oczekiwanej.

Wariancja zmiennej losowej X zdefiniowana jest wzorem:

$Var[X]=\mathbb{E}[(X-\mu)^2]$ ,

gdzie $\mathbb{E}[]$ jest wartością oczekiwaną zmiennej losowej. Innym, często prostszym sposobem wyznaczania wariancji jest wzór: $D 2 (X) = E (X 2) - [E (X)] 2$ .

Wariancja jest momentem centralnym drugiego rzędu zmiennej losowej.

[edytuj] Estymatory

Wariancję dla szeregu szczegółowego wyznacza się ze wzoru:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n ( x_i - m )^2$

a dla szeregu rozdzielczego:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^k n_i \cdot ( x_i - m )^2$

Wariancja próby losowej o wartościach $x i$ , gdzie $i = 1,2,3,...$ , jest następująca:

$\sigma^2 = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.$

Wariancję dla populacji można estymować za pomocą n-elementowej próby losowej. Estymator największej wiarygodności:

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2$

jest zgodnym lecz obciążonym estymatorem wariancji (jest nieobciążony asymptotycznie). Innymi słowy, gdybyśmy z populacji losowali próbkę wielokrotnie i obliczali jego wyniki, to ich średnia nie byłaby równa wariancji w całej populacji. Dlatego też częściej używa się również zgodnego, lecz nieobciążonego estymatora:

$s^2 = \frac{1}{n-1} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \overline{x} \right) ^ 2.$

W przypadku, gdy znamy dokładną wartość oczekiwaną $μ$ w populacji, wówczas estymator

$s^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \left( x_i - \mu \right) ^ 2$

jest już nieobciążony i zgodny.

[edytuj] Własności wariancji

D 2 (c) = 0

$D^2(a \cdot X) = a^2 \cdot D^2(X)$

D 2 (X + b) = D 2 (X)

$D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y)$ , gdy X I Y są niezależne

$D^2(X \pm Y) = D^2(X) + D^2(Y) \pm 2\operatorname{Cov}(X,Y)$ w ogólnym przypadku

Pierwiastek kwadratowy z wariancji definiujemy jako odchylenie standardowe.

Pierwiastek z estymatora nieobciążonego wariancji jest często używany jako estymator odchylenia standardowego, jednak jest wówczas obciążony! (zobacz odchylenie standardowe).

[edytuj] Zobacz też

[edytuj] Bibliografia

W. Krysicki, J. Bartos, W. Dyczka, K. Królikowska, M. Wasilewski: Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna w zadaniach, część 2. Statystyka matematyczna. Warszawa: PWN, 2006, s. 48. ISBN 83-01-14292-8.

Termin apelacji Karadżicia minął

O północy z piątku na sobotę minął ostateczny termin odwoływania się od ekstradycji do Trybunału ONZ zatrzymanego w poniedziałek w Belgradzie przywódcy bośniackich Serbów Radovana Karadżicia.

Włosi drżą przed imigrantami

Stały napływ nielegalnych imigrantów nie na żarty przestraszył włoski rząd. W związku z tym, tamtejsze władze ogłosiły w piątek stan kryzysowy na terenie całego kraju.

Uczył studentów jak godnie umierać

Zmarł Randy Pausch, niezwykły wykładowca amerykańskiego uniwersytetu, który przekonywał swoich studentów, że umieranie nie jest tragedią. Chory na raka naukowiec zyskał popularność dzięki opublikowanemu w internecie wykładowi, podczas którego robił pompki i śmiał się ze zbliżającej śmierci.

Z maczetami na uchodźców

23 osoby zostały ranne po tym, jak kilkudziesięciu mężczyzn zaatakowało mieszkańców ośrodka dla uchodźców w Norwegii. Napastnicy mieli przy sobie metalowe pręty i maczety.

Setki osób uciekają przed powodzią

Ponad 300 osób zostało ewakuowanych po tym, jak ulewne deszcze spowodowały powodzie w północno-wschodniej Rumunii. Woda uszkodziła drogi, mosty i linie energetyczne.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia