Wektor losowy - Google

Wektor losowy

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj
 Ten artykuł wymaga dodania linków wewnętrznych. Jeśli możesz, dodaj je teraz.
Aby uzyskać taki efekt: teoria, kota, Witolda Gombrowicza, lodowce górskie - linki tworzymy według składni: [[teoria]], [[kot]]a, [[Witold Gombrowicz|Witolda Gombrowicza]], '''[[lodowiec górski|lodowce górskie]]'''.
Przed zapisaniem sprawdź, czy linki nie prowadzą do stron ujednoznaczniających.

Niech Ω oznacza przestrzeń zdarzeń losowych, a V oznacza przestrzeń wektorową nad ciałem K. Wektorem losowym nazywamy funkcję:

X: \Omega \to V

Gdy:

V = \mathbb{R}^{n}; n \in \mathbb{N}

mamy do czynienia z rzeczywistym wektorem losowym

Gdy:

V = \mathbb{C}^{n}; n \in \mathbb{N}

mamy do czynienia z zespolonym wektorem losowym

Niech W(V) będzie przestrzenią wektorów losowych określonych nad przestrzenią wektorową V. Można określić następujące działania:

1.

+: W(V) \times W(V) \ni (X, Y) \to Z \in W(V)

przy czym dla każdego \omega \in \Omega zachodzi Z(ω) = X(ω) + Y(ω)

(oczywiście drugi plus oznacza "zwykle" dodawanie wektorów w przestrzeni V)

2.

\cdot: K \times W(V) \ni (a, X) \to Y \in W(V)

przy czym dla każdego \omega \in \Omega zachodzi Y(ω) = aX(ω)

Tak określone działania czynią z W(V) przestrzeń wektorową nad ciałem K.


[edytuj] Własności statystyczne

Własności statystyczne wektora losowego można opisać za pomocą funkcji (lub ogólniej dystrybucji) gęstości prawdopodobieństwa, lub dystrybuanty wektora losowego.


1. Niech:

\leq oznacza częściowy porządek na przestrzeni V
X \in W(V)
P oznacza prawdopodobieństwo określone na przestrzeni Ω


DystrybuantÄ… wektora losowego nazywamy funkcjÄ™:

F: V \to \mathbb{R}

określoną zależnością:

F(v) = P(X \leq v)

Co oznacza prawdopodobieÅ„stwo, że zmienna X przyjmie wartość mniejszÄ… niż v. W szczególnoÅ›ci :

\lim\limits_{v\to\infty} F(v)=1
\lim\limits_{v\to-\infty} F(v)=0

2.

Niech:

||v|| oznacza normę określoną na przestrzeni V


Gęstością prawdopodobieństwa wektora losowego nazywamy funkcję:

p: V \to \mathbb{R}

określoną zależnością:

p(v) = \lim_{||h|| \to 0} {P(v+h) - P(v) \over ||h||}

Całka z gęstości prawdopodobieństwa określa prawdopodobieństwo zdarzenia zawartego w granicach całkowania.

Z definicji wynika następujący sposób obliczania prawdopodobieństwa zdarzenia X \in D \subset V :

P(X \in D) = \int\limits_{D}{p(v)dv}

oraz związek pomiędzy gęstością prawdopodobieństwa a dystrybuantą:

F(v) = \int\limits_{D(v)}{p(v)dv}
D(v) = \{w \in V: w \leq v \}


Wartość średnia (wartość oczekiwana) funkcji f(X) wektora losowego jest określana zależnością:

E(f(X)) = \int\limits_{V}{vf(v)p(v)dv}

Wartość średnia wektora losowego

m_{X} = E(X) = \int\limits_{V}{vp(v)dv}

[edytuj] Zespolone wektory losowe

Zbiór \mathbb{C}^{n} można utożsamić ze zbiorem n-wymiarowych macierzy kolumnowych. W takiej sytuacji można zdefiniować mnożenie wektorów losowych przez macierz oraz transpozycję wektorów losowych.

Macierzą korelacji wektorów X i Y nazywamy

RXY = E(XHY)

Macierzą kowariancji wektorów X i Y nazywamy:

CXY = E(XHY)

gdzie H oznacza transpozycjÄ™ Hermite'a.

Nietrudno udowodnić następujące związki:

R_{XY} = R_{YX}^{H}
C_{XY} = C_{YX}^{H}
C_{XY} = R_{XY} - m_{X}^{H}m_{Y}

gdzie mX,mY oznaczają wartości średnie (odpowiednio) wektorów X i Y.

Macierze RXX,CXX nazywane są (odpowiednio) macierzami autokorelacji i autokowariancji wektora losowego. Są one (oczywiście) macierzami hermitowskimi.

Wektory losowe nazywamy nieskorelowanymi gdy ich macierz kowariancji jest macierzÄ… zerowÄ….

Wektory losowe nazywamy ortogonalnymi gdy ich macierz korelacji jest macierzą zerową. Warto zwrócić uwagę na fakt, iż definiując ortogonalność wektora losowego nie określamy iloczynu skalarnego (ortogonalność oznacza tu co innego niż w przestrzeniach unitarnych).

Wektory losowe stosuje się m.in. do analizy własności statystycznych sygnałów stochastycznych.


"Polacy wybrali gruzińskie wino zamiast rosyjskiego gazu"
- Toasty za powodzenie i skuteczność tarczy wznoszono gruzińskim winem - podsumowuje amerykańsko-polskie porozumienie o tarczy rosyjski dziennik "Wriemia Nowostiej". Rosyjska prasa ocenia, że umowa popsuje i tak nienajlepsze stosunki Warszawy z Moskwą.
Stan rannego żołnierza - lepszy
Stan zdrowia jedynego polskiego żołnierza ocalałego z prawdopodobnego zamachu w Afganistanie lekarze oceniają jako lepszy niż w środę. Żołnierz przeszedł operację. W środę samochód, którym jechało czterech polskich żołnierzy wpadł na minę. Trzech żołnierzy zginęło, jeden został ranny.
Rosja oficjalnie nie zrywa z NATO
Rosja zdecydowała się zamrozić wszelką współpracę wojskową z NATO i jego sojusznikami - poinformowało na swoich stronach internetowych norweskie ministerstwo obrony. Rosjanie oficjalnie zaprzeczają.
Rosjanie: z Osetii PÅ‚d. nie wyjdziemy
- Nie planujemy donikąd odjeżdżać - w ten sposób gen. Anatolij Nowogicyn, zastępca szefa rosyjskiego sztabu, zapowiedział, że Rosjanie nie mają zamiaru opuścić separatystycznej Osetii Południowej. Z Gruzji, na niecałe 24 godziny przez zakończeniem zapowiedzianej przez Moskwę ewakuacji, wciąż dochodzą sprzeczne informacje o jej przebiegu.
Saakaszwili: Rosjanie kpią sobie ze świata
Rosjanie faktycznie opuszczają niektóre gruzińskie miasta - przyznaje prezydent Gruzji Micheil Saakaszwili - ale dodaje, że jednocześnie rosyjskie wojska nasilają działania w innych regionach jego kraju. - Rosjanie kpią sobie ze świata - mówi Saakaszwili. Z kolei Waszyngton ujawnia, że ostrzegał Tbilisi przed konfliktem z Rosją.
Linki: Strona g³ówna