Z Wikipedii

Macierz Grama dla zbioru wektorów w przestrzeni unitarnej – macierz symetryczna, której wyrazy są iloczynami skalarnymi tych wektorów. Wartości macierzy dane są wzorem G_i,j = (v_i,v_j).

[edytuj] Postać

Macierz Grama ma postać:

Macierz ta jest stosowana do obliczania liniowej niezależności zbioru wektorów – zbiór wektorów jest liniowo niezależny wtedy i tylko wtedy, gdy wyznacznik jego macierzy Grama (wyznacznik Grama) jest niezerowy.

Nazwa macierzy pochodzi od duńskiego matematyka Jørgena Pedersena Grama.

[edytuj] Wyznacznik Grama

Wyznacznik Grama oznaczamy

Wartość wyznacznika Grama nie zależy od wyboru kolejności wektorów. Przestawienie dwóch wektorów w ciągu powoduje natchmiast prestawienie dwóch wierszy i dwóch kolumn w macierzy.

[edytuj] Zastosowanie – objętość

Wyznacznik Grama ma duże zastosowanie przy liczeniu objętości k-wymiarowych (objętość 1-dim to długość, 2-dim to powierzchnia)

Objętość równoległościanu rozpiętego przez wektory jest równa pierwiastkowi kwadratowemu z wyznacznika Grama

Wyznacznik Grama ma też zastosowanie przy obliczaniu k-objętości brył o bardziej skomplikowanym kształcie, np.: obliczanie długości krzywej

[edytuj] Przykład obliczania długości krzywej z zastosowaniem wyznacznika Grama

Dla przykładu policzymy długość okręgu o równaniu:

x² + y² = R²

okrąg sparametryzujemy przy pomocy t , które pochodzi z przedziału od 0 do 2π. Stąd krzywą można opisać wektorem: (Rcos(t),Rsin(t)) a wektor styczny (obliczony jako pochodna) to: ( − Rsin(t),Rcos(t)) Wektory styczne rozpinają element objętości stąd: element objętości wynosi: . W rozważanym przykładzie mamy jeden wektor styczny, a wyznacznik Grama jest równy długości tego wektora, czyli r. Aby obliczyć objętość liczymy:

Dokładnie analogicznie oblicza się powierzchnie, objętości brył, z tym że wykonywane jest całkowanie po większej liczbie zmiennych, a macierz Grama jest wyższego rzędu.

[edytuj] Sterowalność układu

Macierz Grama jest związana z liniowymi układami sterowania, która pozwala określić czy układ jest sterowalny.

[edytuj] Twierdzenie

Warunkiem koniecznym i wystarczającym sterowalności układu liniowego jest odwracalność macierzy Grama (dla pewnego t_f > 0).

[edytuj] Wzory

Załóżmy, że układ jest niesterowalny, zatem będzie istniał taki niezerowy wektor v, że Gv = 0, a tym samym v^TGv = 0. Po wprowadzeniu wektora v^T oraz v "pod całkę" zauważamy, że zawartość całki można zapisać jako iloczyn w^Tw (). Następnie zauważamy, że:

w^Tw = | | w | | ².

Skoro G = 0, to | | w | | = 0, a tym samym w = 0. W ten sposób otrzymujemy (po dodatkowej transpozycji):

v^Te ^{− sA}B = 0.

Kolejne pochodne tego wzoru będą przedstawiały się (pomijając znak) jako:

, a po podstawieniu s = 0 otrzymamy ostatecznie iloczyn wektora v^T z macierzą Kalmana.

[edytuj] Bibliografia

1. Franciszek Leja: Rachunek różniczkowy i całkowy. Warszawa: PWN, 1976. 
2. S. Zakrzewski: Algebra i Geometria. Warszawa.