Metoda Simpsona - Google

Metoda Simpsona

Z Wikipedii

(Przekierowano z Wzór parabol Simpsona)
Skocz do: nawigacji, szukaj
Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:f(a) = f(x0) = y0, f(m) = f(x1) = y1,f(b) = f(x2) = y2.
Funkcja f(x) (niebieska) jest przybliżana funkcją kwadratową P(x) (czerwona) gdzie:
f(a) = f(x0) = y0,
f(m) = f(x1) = y1,
f(b) = f(x2) = y2.

Całkowanie metodą Simpsona – jedna z metod przybliżania wartości całki oznaczonej funkcji rzeczywistej.

Metoda ma zastosowanie do funkcji stablicowanych w nieparzystej liczbie równo odległych punktów (wliczając końce przedziału całkowania). Metoda opiera się na przybliżaniu funkcji całkowanej przez interpolację wielomianem drugiego stopnia.

Znając wartości y_0,\ y_1,\ y_2 funkcji f(x) w 3 punktach x_0,\ x_1,\ x_2 (przy czym x_2-x_1 = x_1-x_0 = h\;), przybliża się funkcję wielomianem Lagrange'a, i całkując w przedziale [x0,x2] otrzymuje przybliżoną wartość całki:

\int\limits_{x_0}^{x_2}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_0+4y_1+y_2)

Błąd który przy tym popełniamy jest równy: R = \frac{1}{90} h^5 |f^{(4)}(c)| gdzie:

c \in [x_0; x_2]

Nie znamy położenia punktu c więc posługujemy się poniższym szacowaniem, mającym zastosowanie w obliczeniach numerycznych:

R \leq \frac{1}{90} h^5 \max_{x \in [x_0; x_2]} |f^{(4)}(x)|

Znając wartości funkcji w 2k+1 kolejnych, równo odległych punktach x_0,\,x_1,\dots x_n (gdzie n=2k), możemy iterować powyższy wzór na k przedziałów:

\int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 (y_{2i-2}+4y_{2i-1}+y_{2i}),\quad i=1,\,2,\,\dots\,k,\quad k=\frac n 2

otrzymujÄ…c:

\int\limits_{x_0}^{x_n}f(x)dx=\sum_{i=1}^k \int\limits_{x_{2i-2}}^{x_{2i}}f(x)dx\approx \frac h 3 \left( y_0+4\sum_{i=1}^k y_{2i-1}+2\sum_{i=1}^{k-1} y_{2i}+y_n \right)

Wartość błędu jakim są obarczone wyliczenia wyraża się wzorem:

R \leq \frac{1}{180} (x_n - x_0) h^4 \max_{x \in [x_0; x_n]} |f^{(4)}(x)|

By czytelnik mógł go odnieść do rysunku:

xn = b; f(xn) = yn,
x0 = a; f(x0) = y0

Geometrycznie metoda ta odpowiada zastąpieniu w każdym z kolejnych k przedziałów zmiennej x łuku wykresu funkcji y=f(x) łukiem paraboli, przeprowadzonej przez trzy kolejne węzły interpolacji (punkty wykresu o znanych współrzędnych), odpowiadające początkowi, środkowi i końcowi kolejnego przedziału.


Paypal przejmie pełną odpowiedzialność za transakcje
Klienci portalu aukcyjnego eBay, którzy padli ofiara oszustów, mogą spodziewać się całkowitego zwrotu kosztów, wliczając koszty przesyłki.
11 poprawek od Microsoft (uwaga na fałszywe aktualizacje!)
W najbliższy wtorek Microsoft udostępni 11 poprawek, z których cztery eliminują luki ocenione jako "krytyczne". Mogą one zostać wykorzystane do zdalnego wykonania szkodliwego kodu. Dziury te występują w Windows, Internet Explorer, Host Integration Server i Excelu.
40 proc. fałszywych kont na Facebook
Spamerzy i autorzy szkodliwego oprogramowania w pełni wykorzystują możliwości, jakie oferują portale społecznościowe.
Jest pierwsza wersja OpenOffice.org 3.0
Darmowy pakiet biurowy OpenOffice jest już dostępny w wersji 3.0.
Przesłuchaj zanim opublikujesz!
Głosowe odczytywanie komentarzy na YouTube – nowa usługa najpopularniejszego serwisu wideo.
Linki: Strona g³ówna