Zbiór analityczny

Z Wikipedii

Zbiory analityczne - podzbiory przestrzeni polskiej które są ciągłymi obrazami zbiorów borelowskich. Dopełnienia zbiorów analitycznych to zbiory koanalityczne.

Zbiory analityczne były wprowadzone w 1917 przez rosyjskiego matematyka Michała Suslina^[1].

Spis treści

1 Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich
2 Przykłady
3 Własności
4 Bibliografia
5 Zobacz też

[edytuj] Zbiory analityczne w przestrzeniach polskich

Niech ${\mathcal N}$ oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Dla przestrzeni polskiej X definiujemy klasy $\Sigma^1_1(X)$ i $\Pi^1_1(X)$ następująco:

$\Sigma^1_1(X)$ jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego $B\subseteq X\times{\mathcal N}$ mamy $A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\}$ ,
$\Pi^1_1(X)$ jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że $X\setminus A\in \Sigma^1_1(X)$ .

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma^1_1,\Pi^1_1$ (zamiast $\Sigma^1_1(X),\Pi^1_1(X)$ ).

Zbiory należące do klasy $\Sigma^1_1(X)$ nazywane są analitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$ , a zbiory z klasy $\Pi^1_1(X)$ są nazywane koanalitycznymi podzbiorami przestrzeni $X$ . Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości rodzinę zbiorów analitycznych oznacza się przez A, a klasę zbiorów koanalitycznych oznacza się przez CA.

[edytuj] Przykłady

Każdy borelowski podzbiór przestrzeni polskiej jest analityczny i koanalityczny.
Dla ciągu $x\in 2^{\mathbb N}$ niech $R_{x}=\{(n,m)\in {\mathbb N}\times {\mathbb N}: x(2^n\cdot (2m+1))=1\}$ . Tak więc, dla każdego $x\in 2^{\mathbb N}$ , zbiór $R x$ jest relacją dwuargumentową na zbiorze liczb naturalnych ${\mathbb N}$ . Rozważmy zbiór

${\bold{WO}}=\{x\in 2^{\mathbb N}: R_x$ jest dobrym porządkiem na ${\mathbb N}\}.$

Wówczas ${\bold{WO}}$ jest zbiorem koanalitycznym który nie jest borelowski. (A więc jego dopełnienie $2^{\mathbb N}\setminus {\bold{WO}}$ jest przykładem zbioru analitycznego który nie jest borelowski.)

[edytuj] Własności

Jeśli Y jest przestrzenią polską, $f:X\longrightarrow Y$ jest funkcją ciągłą oraz $A\in \Sigma^1_1(X)$ , to $f(A)\in\Sigma^1_1(Y)$ . W szczególności, każdy ciągły obraz zbioru borelowskiego jest analityczny.
Przeliczalne sumy i przekroje zbiorów analitycznych (koanalitycznych, odpowiednio) są analityczne (koanalityczne, odpowiednio).
Nieskończony zbiór analityczny jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum. Co więcej, każdy nieprzeliczalny zbiór analityczny zawiera zbiór doskonały.
Przy założeniu aksjomatu konstruowalności, istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego.
Jeśli $A, B$ są rozłącznymi podzbiorami przestrzeni polskiej X, to można znaleźć taki zbiór borelowski $C\subseteq X$ , że $A\subseteq C$ oraz $C\cap B=\emptyset$ . W szczególności, jedynymi zbiorami które są jednocześnie analityczne i koanalityczne są zbiory borelowskie.
Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1\cup \Pi^1_1$ mają własność Baire'a.
Wszystkie zbiory z $\Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R})$ są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z $\Sigma^1_1({\mathcal N})$ są zdeterminowane^[2].
Przypuśćmy, że X,Y są przestrzeniami polskimi i $A\subseteq X\times Y$ jest zbiorem koanalitycznym. Wówczas można znaleźć zbiór koanalityczny $B\subseteq A$ który jest wykresem funkcji o dziedzinie $\{x\in X:(\exists y\in Y)((x,y)\in A)\}$ .

Powyższe twierdzenie przy założeniu że A jest zbiorem borelowskim było udowodnione przez polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego^[3] a w sformułowaniu przedstawionym powyżej udowodnił je Motokiti Kondo^[4].

[edytuj] Bibliografia

↑ Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis. "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris", 164 (1917), s. 88-91.
↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.
↑ Sierpinski, Wacław: Sur l'uniformisation des ensembles mesurables (B). "Fundamenta Math." 16 (1930), s. 136-139.
↑ Kondô, Motokiti: Sur l'uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. "Japan. J. Math." 15 (1938), s. 197-230.

[edytuj] Zobacz też

Na ziemi są "kosmiczne" bakterie

Znalezione w kopalni złota bakterie potrafią żyć w całkowitej izolacji i mogą pomóc w zrozumieniu ewentualnego życia poza Ziemią-informuje "New Scientist".

"Zdrowie psychiczne problemem globalnym"

Zdrowie psychiczne powinno stać się pierwszoplanowym zagadnieniem polityki globalnej - podkreślają psychiatrzy w przesłaniu na przypadający Światowy Dzień Zdrowia Psychicznego.

Komórki, które idą drogą wirusa

Żywe komórki, hodowane na podłożu, na które naniesiono wcześniej ściśle uporządkowane pasma wirusów, chętniej wzrastają w miejscach gdzie znajdują się cząsteczki wirusów. W ten sposób możliwa jest kontrola wzrostu komórek oraz tworzenie tkanek o charakterystycznym, wcześniej zaplanowanym dwuwymiarowym układzie przestrzennym, donosi "Chemical Communications".

Wycinanie lasów to większe straty od kryzysu finansowego

Wycinanie lasów przynosi światowej gospodarce znacznie większe straty niż obecny kryzys finansowy. Taki wniosek płynie z raportu, przygotowanego na zlecenie Unii Europejskiej, opublikowanego w ramach Światowego Kongresu Ochrony Przyrody, który odbywa się w Barcelonie.

Dlaczego warto uczyć kosmologii

Kosmologia to młoda nauka fizyczna, której najgwałtowniejszy rozwój miał miejsce w XX wieku. Teraz w dobie wspaniałego rozwoju technik obserwacyjnych, ta nauka oferuje nam obraz pełnego piękna i tajemnic Wszechświata, w którym żyjemy.

Linki: Strona g��wna

[0] Souslin, M.: Sur une définition des ensembles mesurables B sans nombres transfinis. "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris", 164 (1917), s. 88-91.

[1] Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fundamenta Mathematicae" 66 (1969/1970), s. 287-291.

[2] Sierpinski, Wacław: Sur l'uniformisation des ensembles mesurables (B). "Fundamenta Math." 16 (1930), s. 136-139.

[3] Kondô, Motokiti: Sur l'uniformisation des complémentaires analytiques et les ensembles projectifs de la seconde classe. "Japan. J. Math." 15 (1938), s. 197-230.

[1]

[2]

[3]

[4]

Encyklopedia