Zbiór borelowski

Z Wikipedii

W matematyce, borelowskie podzbiory przestrzeni topologicznej $(X,τ)$ to elementy σ-ciała podzbiorów X związanego w pewien sposób z topologią $τ$ . W literaturze istnieją przynajmniej dwie nierównoważne (choć zbliżone) definicje zbiorów borelowskich.

Nazwa zbiorów borelowskich została wprowadzona dla uhonorowania prac francuskiego matematyka Émile Borela który pierwszy studiował te zbiory i ich zastosowania^[1].

Spis treści

1 Definicje
2 Intuicje
3 Podstawowe własności i przykłady
4 Własności zbiorów borelowskich w przestrzeniach polskich
5 Hierarchia zbiorów borelowskich w przestrzeniach polskich
6 Bibliografia
7 Zobacz też

[edytuj] Definicje

Jak wspomniano powyżej, pojęcie zbiorów borelowskich jest używane w (przynajmniej) dwóch znaczeniach. Niech $(X,τ)$ będzie przestrzenią topologiczną.

(a) Borelowskie podzbiory przestrzeni X to elementy najmniejszego σ-ciała podzbiorów X które zawiera wszystkie otwarte podzbiory X (tzn zawierającego rodzinę

τ

).

(b) Borelowskie podzbiory przestrzeni X to elementy najmniejszego σ-ciała podzbiorów X które zawiera wszystkie zwarte podzbiory X.

Podobieństwo definicji (a) i (b) jest jeszcze bardziej widoczne jeśli zauważymy, że w (a) możemy zastąpić zbiory otwarte przez zbiory domknięte. W ogólnym przypadku pojęcia te nie są równoważne i istnieją przestrzenie topologiczne w których odpowiednie σ-ciała zbiorów są różne. Jednak w praktyce matematycznej obydwa znaczenia naszego terminu często okazują się identycznymi. Na przykład, w lokalnie zwartych przestrzeniach Lindelöfa, zbiory domknięte są przeliczalnymi sumami zbiorów zwartych, więc $σ$ -ciało generowane przez zbiory otwarte jest tym samym co $σ$ -ciało generowane przez zbiory zwarte. W szczególności, w lokalnie zwartych ośrodkowych przestrzeniach metrycznych oba pojęcia zgadzają się.

Należy też zauważyć, że w teorii mnogości w odniesieniu do przestrzeni polskich mówiąc o zbiorach borelowskich zwyczajowo przyjmujemy znaczenie (a) tego terminu.

Poniżej, dyskutując zbiory borelowskie, będziemy przyjmować pierwszą definicję tego pojęcia.

[edytuj] Intuicje

Rodzina zbiorów borelowskich zawiera więc, mówiąc obrazowo, "bardzo porządne" podzbiory przestrzeni topologicznej. Można myśleć, że zbiory otwarte i domknięte są najbardziej "porządnymi" zbiorami w danej przestrzeni. Za pomocą operacji tworzenia przeliczalnych sum i przekrojów można jednak łatwo uzyskać zbiór, który nie jest ani otwarty ani domknięty (na przykład zbiór liczb wymiernych na prostej rzeczywistej). Operacje tworzenia przeliczalnych sum i przekrojów są tak naturalne i często spotykane, że należało rozważyć inną klasę podzbiorów, z której nie można byłoby "wypaść" stosując je. Taką klasą jest właśnie rodzina zbiorów borelowskich.

[edytuj] Podstawowe własności i przykłady

Z samego określenia zbioru borelowskiego wynika, że zbiorami borelowskimi w przestrzeni X są:

wszystkie zbiory otwarte tej przestrzeni,
wszystkie zbiory domknięte tej przestrzeni,
różnice takich zbiorów,
przeliczalne sumy i iloczyny zbiorów otwartych i domkniętych.

Borelowskie podzbiory prostej rzeczywistej są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a i mają własność Baire'a.
Rodzina zbiorów borelowskich na prostej jest generowana przez wszystkie przedziały otwarte (równoważnie: domknięte) o końcach wymiernych.
Rodzina zbiorów borelowskich jest bardzo szeroka - na prostej rzeczywistej nie ma naturalnego przykładu zbioru, który nie byłby borelowski. Przykładami są za to zbiór Vitalego lub zbiór Bernsteina.

[edytuj] Własności zbiorów borelowskich w przestrzeniach polskich

Borelowskie podzbiory doskonałych przestrzeni polskich są jednymi z obiektów zainteresowań w opisowej teorii mnogości. Poniżej mówiąc o zbiorach borelowskich myślimy o borelowskich podzbiorach jakiejkolwiek doskonałej przestrzeni polskiej.

Każdy nieprzeliczalny zbiór borelowski ma doskonały podzbiór, więc też podzbiór homeomorficzny z zbiorem Cantora. Więc, każdy nieskończony zbiór borelowski jest albo przeliczalny albo mocy continuum, nawet bez założenia hipotezy continuum.
Moc rodziny zbiorów borelowskich wynosi continuum. Tak więc pomimo tego, że trudno jest podać przykład zbioru, który nie jest borelowski, zbiorów nieborelowskich jest "więcej" niż borelowskich.
Ciągły różnowartościowy obraz zbioru borelowskiego jest zbiorem borelowskim. W ogólności jednak, ciągły obraz zbioru borelowskiego nie musi być borelowski (zob. Zbiór analityczny).
Wszyskie doskonałe przestrzenie polskie są borelowsko izomorficzne. Jeśli $X$ jest doskonałą przestrzenią polską, to istnieje funkcja wzajemnie jednoznaczna $f:X\longrightarrow {\mathbb R}$ która jest funkcją mierzalną względem σ-ciała zbiorów borelowskich. (Wówczas również funkcja odwrotna $f - 1$ jest mierzalna.)
Twierdzenie Kuratowskiego mówi że jeśli $X 1, X 2$ są doskonałymi przestrzeniami polskimi, to można wybrać ich borelowskie podzbiory pierwszej kategorii $Z_1\subseteq X_1$ i $Z_2\subseteq X_2$ , takie że przestrzenie $X_1\setminus Z_1$ i $X_2\setminus Z_2$ są homeomorficzne.

[edytuj] Hierarchia zbiorów borelowskich w przestrzeniach polskich

Podana przez nas definicja zbiorów borelowskich ma ograniczoną użyteczność z tego powodu, że nie podaje ona żadnej informacji o strukturze tych zbiorów. Mówiąc najmniejsze σ-ciało zawierające zbiory otwarte nie dajemy żadnej wskazówki co do tego które podzbiory przestrzeni należą do tego ciała. Budowę tego σ-ciała możemy opisać krok po kroku, a w przestrzeniach polskich (i ogólniej w przestrzeniach metrycznych) otrzymujemy w ten sposób szczególnie interesujący opis (wynikający z faktu, że każdy zbiór domknięty jest przekrojem przeliczalnie wielu zbiorów otwartych). Opis ten podaje tak zwaną hierarchię zbiorów borelowskich i jest podstawowym pojęciem w opisowej teorii mnogości.

[edytuj] Definicja

Niech X będzie przestrzenią polską. Przez indukcję po liczbach porządkowych $0 < α < ω 1$ definiujemy rodziny $\Sigma^0_\alpha(X),\Pi^0_\alpha(X),\Delta^0_\alpha(X)$ podzbiorów przestrzeni X.

$\Sigma^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich otwartych podzbiorów X, $\Pi^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich domkniętych podzbiorów przestrzeni X (a więc elementy $\Pi^0_1(X)$ to dopełnienia zbiorów z $\Sigma^0_1(X)$ ). Ponadto kładziemy $\Delta^0_1(X)=\Sigma^0_1(X)\cap \Pi^0_1(X)$ , czyli $\Delta^0_1(X)$ jest rodziną wszystkich otwarto-domkniętych podzbiorów X.
Przypuśćmy, że zdefiniowaliśmy już $\Sigma^0_\beta(X),\Pi^0_\beta(X),\Delta^0_\beta(X)$ dla $0 < β < α$ . Określamy:

$\Sigma^0_\alpha(X)$ jest rodziną wszystkich zbiorów postaci $A=\bigcup\limits_{n=0}^\infty A_n$ , gdzie $A_n\in \bigcup\limits_{\beta<\alpha}\Pi^0_\beta(X)$ (dla wszystkich n),

$\Pi^0_{\alpha(X)}$ jest rodziną wszystkich zbiorów $A\subseteq X$ takich, że $X\setminus A\in \Sigma^0_\alpha(X)$ ,

$\Delta^0_\alpha(X)=\Sigma^0_\alpha(X)\cap \Pi^0_\alpha(X)$ .

Zdefiniowane powyżej rodziny zbiorów są czasami nazywane klasami borelowskimi. Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy $\Sigma^0_\alpha,\Pi^0_\alpha,\Delta^0_\alpha$ (zamiast $\Sigma^0_\alpha(X),\Pi^0_\alpha(X),\Delta^0_\alpha(X)$ ).

[edytuj] O oznaczeniach

Notację $\Sigma^0_\alpha$ wprowadził John W. Addison w 1959^[2]. Addison napisał ten artykuł w Warszawie gdy był gościem Instytutu Matematycznego PAN. Dziękuje on Andrzejowi Mostowskiemu (ktory był profesorem na UW) oraz pisze

It seems particularly desirable to introduce simple, uniform and easy-to-remember notations for the classes of the various hierarchies. [...] After lengthy discussions here in Warszawa it has been decided to propose $\Sigma^{0(C)}_k$ [...] ( $\Sigma^{1(C)}_k$ ) for the hierarchies built on the class of predicates recursive in C by quantifying over $N$ ( $N N$ )

Among the advantages we cite: [...] it is easily extended to hierarchies defined by quantifiers of higher type [...]

[Tłumaczenie: Wydaje się że wprowadzenie prostych, jednorodnych i łatwych do zapamiętania oznaczeń dla klas różnych hierchii jest szczególnie pożądane. [...] Po dłuższych dyskusjach tutaj w Warszawie postanowiono zaproponować $\Sigma^{0(C)}_k$ [...] ( $\Sigma^{1(C)}_k$ ) dla hierarchii zbudowanych na klasie predykatów rekurencyjnych w C przez kwantyfikowanie nad $N$ ( $N N$ ).]

Po pewnym czasie symbolika wprowadzona przez Addisona przyjęła się w całej teorii mnogości. Często jednak w topologii oraz w starszych podręcznikach teorii mnogości dla początkowych klas borelowski używa się następującej symboliki:

elementy klas $\Sigma^0_1,\Pi^0_1$ to, oczywiście, zbiory otwarte i domknięte, odpowiednio,
elementy klasy $\Sigma^0_2$ są nazywane zbiorami typu F_σ a zbiory z klasy $\Pi^0_2$ to zbiory typu G_δ,
elementy klas $\Sigma^0_3,\Pi^0_3$ są nazywane zbiorami typu G_δσ i zbiorami typu F_σδ, odpowiednio, etc.

[edytuj] Podstawowe własności

Niech X będzie nieprzeliczalną przestrzenią polską i niech wszystkie wspomniane poniżej klasy borelowskie odnoszą się do tej przestrzeni.

Dla każdych $0 < α < β < ω 1$ zachodzą następujące inkluzje:

$\Sigma^0_\alpha\subseteq\Delta^0_\beta\subseteq \Sigma^0_\beta$ oraz $\Pi^0_\alpha\subseteq\Delta^0_\beta\subseteq \Pi^0_\beta$ .

Każda z tych inkluzji jest właściwa (tzn nie zachodzi żadna z odpowiednich równości).

$\bigcup\limits_{0<\alpha<\omega_1}\Sigma^0_\alpha=\bigcup\limits_{0<\alpha<\omega_1}\Pi^0_\alpha$ jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów X.
Klasy $\Sigma^0_\alpha$ są zamknięte na sumy przeliczalne i skończone przekroje zbiorów, a klasy $\Pi^0_\alpha$ są zamknięte na przekroje przeliczalne i skończone sumy.
Każda klasa $\Delta^0_\alpha$ jest ciałem podzbiorów X.

[edytuj] Bibliografia

↑ Borel, É. Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes. Paris: Gauthier-Villars. VIII u. 158 S. (1905)
↑ Addison, John W.: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI, s.123-135, 1959. pdf.

[edytuj] Zobacz też

Polska liderem w pokazywaniu europejskich produkcji

Europejskie stacje telewizyjne przeznaczają ponad 65 proc. czasu antenowego na produkcje europejskie, w tym ponad 36 proc. na produkcje niezależnych producentów z UE - wynika z piątkowego raportu Komisji Europejskiej. Polska jest liderem rankingu krajów UE.

TVP procesuje się z "Dziennikiem"

Przeprosin i wpłaty 200 tys. na cel społeczny żąda TVP od "Dziennika" za artykuł pt. "Korupcja w TVP" - o domniemanej propozycji wiceszefowej Agencji Informacji TVP Patrycji Koteckiej wyższych wycen za materiały kompromitujące PO.

Maks Kolonko procesuje się z "Faktem"

Przeprosin i 100 tysięcy zł zadośćuczynienia żąda od wydawcy "Faktu" znany prezenter TV Mariusz Maks Kolonko za nazwanie go "łajdakiem" i sugestię, że swój związek z Weroniką Rosati traktował instrumentalnie.

Powstaje audiobook o Śląsku

Sześć płyt i książka z esejami złożą się na audiobook poświęcony Śląskowi. Ma to być dźwiękowy pejzaż regionu.

Dodatek o Powstaniu Warszawskim w "Rzeczpospolitej"

Dzisiaj dziennik "Rzeczpospolita" (Presspublica) ukaże się z dodatkiem poświęconym Powstaniu Warszawskiemu – "Warszawa '44".

Linki: Strona g��wna

[0] Borel, É. Leçons sur les fonctions de variables réelles et les développements en séries de polynomes. Paris: Gauthier-Villars. VIII u. 158 S. (1905)

[1] Addison, John W.: Separation principles in the hierarchy of classical and effective descriptive set theory, Fundamenta Mathematicae XLVI, s.123-135, 1959. pdf.

[1]

[2]

Encyklopedia