Zbiór ograniczony

Z Wikipedii

Zbiór ograniczony – termin w matematyce używany na określenie zbiorów w pewnym sensie małych. Dokładna definicja tego pojęcia zależy od kontekstu w którym jest ono wprowadzane.

Spis treści

1 Porządki częściowe
2 Przestrzenie metryczne
3 Przestrzenie liniowo-topologiczne
4 Zobacz też

[edytuj] Porządki częściowe

Niech $(X,\sqsubseteq)$ będzie zbiorem częściowo uporządkowanym. Przypuśćmy też, że $A\subseteq X$ i $s\in X$ . Powiemy że

element $s$ jest ograniczeniem górnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(a\sqsubseteq s)$ ,
element $s$ jest ograniczeniem dolnym zbioru $A$ jeśli $(\forall a\in A)(s\sqsubseteq a)$ .

Każdy element zbioru X jest zarówno ograniczeniem dolnym jak i ograniczeniem górnym zbioru pustego.

Jeśli istnieje ograniczenie górne dla zbioru A, to mówimy iż zbiór ten jest ograniczony z góry, a jeśli istnieje ograniczenie dolne, to powiemy że zbiór jest ograniczony z dołu.

Zbiory ograniczone to zbiory które mają obydwa ograniczenia, dolne i górne. Tak więc podzbiór częściowego porządku jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest on zawarty w pewnym przedziale.

W szczególności, podzbiór A zbioru liczb rzeczywistych nazwiemy ograniczonym z góry (z dołu), jeżeli istnieje liczba większa (mniejsza) od wszystkich liczb tego zbioru, a jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy jest zawarty w pewnym skończonym przedziale.

[edytuj] Przestrzenie metryczne

Ograniczony podzbiór płaszczyzny (u góry) oraz nieograniczony jej podzbiór (na dole)

Niech $(X, d)$ będzie przestrzenią metryczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony w X jeśli jest on zawarty w pewnej kuli.

Równoważnie, niepusty zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony wtedy i tylko wtedy gdy zbiór $\{d(x,y):x,y\in A\}\subseteq {\mathbb R}$ jest ograniczony z góry (jako zbiór liczb rzeczywistych).

[edytuj] Przestrzenie liniowo-topologiczne

Niech X będzie przestrzenią liniowo-topologiczną. Powiemy, że zbiór $A\subseteq X$ jest ograniczony w X, gdy dla każdego otoczenia zera $U\subseteq X$ istnieje $\alpha\in (0,\infty)$ , że $A\subseteq \alpha U=\{\alpha u\colon\; u\in U\}$ .

Można wykazać, że jeśli $X$ jest jednocześnie przestrzenią metryczną, to definicja ta jest równoważna definicji zbioru ograniczonego w sensie przestrzeni metrycznych.

[edytuj] Zobacz też

Prezes Trybunału: rozpatrzenie wniosku ministra nastąpi niezwłocznie

Rozpatrzenie wniosku ministra sportu i turystyki o wycofanie kuratora z PZPN zostanie rozpatrzone niezwłocznie - poinformował PAP prezes Trybunału Arbitrażowego przy PKOl prof. Zygfryd Siwik.

Poważne obawy Kubicy: przyszły sezon mogę mieć "z głowy"

Robert Kubica, kierowca BMW Sauber, przed kolejnym sezonem F1 może obawiać się tylko jednego: czy jego bolid będzie wystarczająco lekki, aby zrekompensować spory ciężar systemu KERS, który BMW bardzo chce stosować w przyszłorocznych wyścigach.

F1: szczęśliwe miejsce Kubicy znika z kalendarza

Wyścig o Grand Prix Kanady na torze Gillesa Villeneuve'a w Montrealu wypadł z kalendarza Formuły 1! Sezon 2009 rozpocznie się 29 marca w Australii, a zakończy 15 listopada w Abu Zabi (Zjednoczone Emiraty Arabskie).

Severiano Ballesteros w szpitalu

Znany były hiszpański zawodowy golfista Severiano "Seve" Ballesteros trafił po zasłabnięciu do madryckiego szpitala.

Igrzyska Sportów Intelektualnych: polscy brydżyści prowadzą

Polska 232 pkt przed Norwegią 222,5 i Gwadelupą 188 - taka jest czołówka klasyfikacji po jedenastu rundach grupy C turnieju open w brydżu w rozgrywanych w Pekinie 1. Światowych Igrzyskach Sportów Intelektualnych.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia