Zbiór rzutowy - Google

Zbiór rzutowy

Z Wikipedii

Skocz do: nawigacji, szukaj

Zbiory rzutowe - podzbiory przestrzeni polskiej które mogą być otrzymane ze zbiorów borelowskich przy użyciu skończenie wielu operacji ciągłych obrazów i dopełnienia.

Zbiory rzutowe były wprowadzone niezależnie w latach 20. XX wieku przez rosyjskiego matematyka Nikołaja Łuzina[1][2][3] i polskiego matematyka Wacława Sierpińskiego[4].

Spis treści

[edytuj] Hierarchia zbiorów rzutowych

Niech {\mathcal N} oznacza przestrzeń Baire'a (jest to przestrzeń homeomorficzna z przestrzenią liczb niewymiernych). Przez indukcję po liczbach naturalnych n\in {\mathbb N} dla każdej przestrzeni polskiej X definiujemy klasy Łuzina \Sigma^1_n(X) i klasy dualne \Pi^1_n(X)

  • \Sigma^1_1(X) jest rodziną tych wszystkich podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego zbioru borelowskiego B\subseteq X\times{\mathcal N} mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_1(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_1(X),
  • \Sigma^1_{n+1}(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że dla pewnego B\in\Pi^1_n(X\times{\mathcal N}) mamy A=\{x\in X:(\exists r\in {\mathcal N})((x,r)\in B)\},
  • \Pi^1_{n+1}(X) jest rodziną tych podzbiorów A przestrzeni X, że X\setminus A\in \Sigma^1_{n+1}(X).

Definiujemy również \Delta^1_n(X)=\Sigma^1_n(X)\cap \Pi^1_n(X).

Jeśli wiadomo w jakiej przestrzeni polskiej pracujemy (albo jeśli nie jest to istotne), to piszemy \Sigma^1_n,\Pi^1_n,\Delta^1_n (zamiast \Sigma^1_n(X),\Pi^1_n(X),\Delta^1_n(X)). Elementy tych klas noszą wspólną nazwę zbiorów rzutowych.

Głównie w starszych podręcznikach topologii i teorii mnogości dla początkowych klas rzutowych używa się następującej terminologii:

  • elementy klasy \Sigma^1_1 nazywane są zbiorami analitycznymi, a zbiory z \Pi^1_1 są określane jako zbiory koanalityczne; czasami te klasy zbiorów oznacza się A i CA,
  • klasy \Sigma^1_2 i \Pi^1_2 oznaczane są też przez PCA i CPCA, etc.

[edytuj] Przykładowe własności

Poniżej przedstawiamy tylko parę przykładowych własności klas rzutowych. Teoria tych klas jest bardzo rozbudowana i zainteresowany czytelnik może bliżej zapoznać się z nią czytając np monografię Yiannisa Moschovakisa[5] lub książkę Tomka Bartoszyńskiego i Haima Judaha[6].

Niech X będzie przestrzenią polską.

  • Zachodzą następujące inkluzje (gdzie "\subseteq" jest reprezentowane przez strzałkę "\longrightarrow"):
\Sigma^1_1 \Sigma^1_2 \ldots \Sigma^1_n \Sigma^1_{n+1} \ldots
\nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow
\Delta^1_1 \Delta^1_2 \Delta^1_3 \ldots \Delta^1_n \Delta^1_{n+1}
\searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow \nearrow \searrow
\Pi^1_1 \Pi^1_2 \ldots \Pi^1_n \Pi^1_{n+1} \ldots
  • \Delta^1_1 jest rodziną wszystkich borelowskich podzbiorów przestrzeni X.
  • Każda klasa Łuzina \Sigma^1_n jest zamknięta na przeliczalne sumy i przekroje i podobnie dla klas dualnych \Pi^1_n[7].
  • Każda klasa \Delta^1_n jest σ-ciałem zbiorów.
  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, f:X\longrightarrow Y jest funkcją ciągłą oraz A\in \Sigma^1_n(X), to f(A)\in\Sigma^1_n(Y).
  • Jeśli Y jest przestrzenią polską, f:X\longrightarrow Y jest funkcją ciągłą oraz B\in \Sigma^1_n(Y) (B\in \Pi^1_n(Y)), to także f^{-1}(B)\in\Sigma^1_n(Y) (f^{-1}(B)\in\Pi^1_n(Y)).
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1\cup \Pi^1_1 mają własność Baire'a.
  • Wszystkie zbiory z \Sigma^1_1({\mathbb R})\cup \Pi^1_1({\mathbb R}) są mierzalne w sensie miary Lebesgue'a.
  • Jeśli założymy MA oraz ¬CH, to wówczas wszystkie zbiory z \Sigma^1_2\cup \Pi^1_2 są mierzalne i mają własność Baire'a.
  • Jeśli założymy aksjomat konstruowalności, to
(a) istnieje \Sigma^1_2-dobre uporządkowanie prostej rzeczywistej,
(b) istnieje \Delta^1_2-podzbiór prostej który nie jest mierzalny w sensie Lebesgue'a i który nie ma własności Baire'a,
(c) istnieje nieprzeliczalny koanalityczny podzbiór prostej który nie zawiera żadnego podzbioru doskonałego
  • Jeśli istnieje liczba nieosiągalna, to istnieje model teorii mnogości w którym wszystkie rzutowe podzbiory prostej są mierzalne w sensie Lebesgue'a.[8].
  • Można zbudować pojęcie forsingu które forsuje że wszystkie zbiory rzutowe mają własność Baire'a, ale mierzalność wszystkich zbiorów klasy \Sigma^1_3 implikuje, że ω1 jest liczbą nieosiagalną w uniwersum zbiorów konstruowalnych (Kurta Gödla)[9].
  • Jeśli istnieje liczba mierzalna, to wszystkie gry nieskończone na zbiory z \Sigma^1_1({\mathcal N}) są zdeterminowane[10]. Przy założeniu istnienia znacznie większych dużych liczb kardynalnych można wykazać, że gry na zbiory z wyższych klas rzutowych też są zdeterminowane[11][12].

[edytuj] Bibliografia

  1. ↑ Lusin, N.: Sur un problème de M. Emile Borel et les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue; les ensembles analytiques, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1318-1320.
  2. ↑ Lusin, N.: Sur les ensembles projectifs de M. Henri Lebesgue, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 180 (1925), 1572-1575.
  3. ↑ Lusin, N.: Les propriétés des ensembles projectifs, "Comptes Rendus Acad. Sci. Paris" 188 (1925), 1817-1819.
  4. ↑ Sierpiński, W.: Sur une classe d'ensembles, "Fundamenta Mathematicae" 7 (1925), 237-243.
  5. ↑ Moschovakis, Yiannis N.: Descriptive set theory. "Studies in Logic and the Foundations of Mathematics", 100. North-Holland Publishing Co., Amsterdam-New York, 1980. ISBN 0-444-85305-7.
  6. ↑ Bartoszyński, Tomek; Judah, Haim: Set theory. On the structure of the real line. A K Peters, Ltd., Wellesley, MA, 1995. ISBN 1-56881-044-X
  7. ↑ Sierpiński, W.: Sur les produits des images continues des ensembles C(A), "Fundamenta Mathematicae" 11 (1928), 123-126.
  8. ↑ Solovay, Robert M.: A model of set-theory in which every set of reals is Lebesgue measurable. "Ann. of Math." 92 (1970) 1-56
  9. ↑ Shelah, Saharon: Can you take Solovay's inaccessible away? "Israel J. Math." 48 (1984), s. 1-47
  10. ↑ Martin, Donald A.: Measurable cardinals and analytic games. "Fund. Math." 66 (1969/1970), s. 287-291.
  11. ↑ Woodin, W. Hugh: Supercompact cardinals, sets of reals, and weakly homogeneous trees. "Proc. Nat. Acad. Sci. U.S.A." 85 (1988), s. 6587-6591.
  12. ↑ Martin, Donald A., Steel, John R.: A proof of projective determinacy. "J. Amer. Math. Soc." 2 (1989), s. 1, 71-125.

[edytuj] Zobacz też


Niewyspane nastolatki mogą mieć nadciśnienie
Nastolatki, które śpią mniej niż 6,5 godziny na dobę mają 2,5 razy większe ryzyko zachorowania na nadciśnienie niż ich bardziej wyspani koledzy. Nadciśnienie to jedna z głównych przyczyn zawałów serca i chorób układu krążenia.
Najwyżsi ludzie świata
Tytuł najwyższego człowieka na świecie powrócił do Chińczyka Bao Xishuna, gdyż obecny rekordzista, Ukrainiec Leonid Stadnyk, odmówił poddania się zmierzeniu według nowych zasad - podała agencja Reuters.
USG pomaga przewidzieć zawał
Badania ultrasonograficzne mogą pomóc w zidentyfikowaniu osób szczególnie zagrożonych zawałem serca i innymi chorobami układu sercowo-naczyniowego - informuje pismo "Radiology".
Odkryto głowę kolosalnego posągu cesarzowej
Archeolodzy odkryli w południowo-zachodniej Turcji głowę wielkiego marmurowego posągu, przedstawiającego postać Faustyny Starszej, żony rzymskiego cesarza Antoninusa Piusa - donosi serwis internetowy BBC News.
Krew menstruacyjna może leczyć miażdżycę
Komórki pozyskiwane z krwi menstruacyjnej mogą być wykorzystane do leczenia zaawansowanej miażdżycy tętnic obwodowych - informuje serwis "EurekAlert".
Linki: Strona gwna