Zmienna losowa

Z Wikipedii

Zmienna losowa – funkcja przypisująca zdarzeniom elementarnym liczby. Dokładniej: odwzorowanie przenoszące badania prawdopodobieństwa z niewygodnej przestrzeni probabilistycznej do dobrze znanej przestrzeni euklidesowej. Zmienne losowe to funkcje mierzalne względem przestrzeni probabilistycznych.

Zmienną losową jest na przykład funkcja opisującą wagę lub wzrost ciała wylosowanego z pewnej populacji osobnika. Zjawiskom o charakterze losowym, którym nie można w oczywisty sposób przypisać jakiejś miary liczbowej, także można przypisywać liczby według pewnego klucza tak, aby możliwe było ich porównywanie w interesującym nas aspekcie. Najprostszymi przykładami są: moneta (np. orłu przypisujemy zero, a reszce jedynkę) i kostka do gry (każdej ściance przypisujemy liczbę wylosowanych oczek). Innymi przykładami wziętymi z życia mogą być: stan techniczny urządzenia, czy wiedza ucznia (oceniana w skali od 1 do 6).

[edytuj] Definicja

Niech $(\Omega, \mathcal F, \mathbb P)$ będzie dowolną przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową (rzeczywistą) nazywamy dowolną funkcję mierzalną z tej przestrzeni w przestrzeń euklidesową z określonym na niej σ-ciałem zbiorów borelowskich z miarą probabilistyczną:

$X\colon (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) \to (\mathbb R, \mathcal B, \mu)$ .

Tradycyjnie zmienne losowe zapisuje się za pomocą wielkich liter z końca alfabetu, np. $X, Y, Z$ , odmiennie niż zwykle zapisuje się funkcje.

[edytuj] Uogólnienia

Rozważa się również zmienne losowe o wartościach zespolonych, nazywa się je wówczas zmiennymi losowymi zespolonymi.

Odwzorowanie mierzalne z $Ω$ w wielowymiarową przestrzeń euklidesową $R n$ nazywa się wektorem losowym. Odwzorowanie takie ma postać $X(\omega) = \left(X_1(\omega), X_2(\omega), \dots, X_n(\omega)\right)$ , gdzie $X_i\;$ dla $i = 1, \dots, n$ są zmiennymi losowymi rzeczywistymi.

Zmienna losowa nie musi mieć w ogólności wartości w przestrzeniach euklidesowych. Wówczas jej definicja brzmi następująco:

$X\colon (\Omega, \mathcal F, \mathbb P) \to A$ ,

gdzie $A$ jest dowolną inną przestrzenią probabilistyczną. Zwykle $A$ są przestrzeniami polskimi ze względu na dobre własności tych przestrzeni.

[edytuj] Przykłady

Niech $Ω$ będzie zbiorem wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma kośćmi do gry, składa się on z 36 możliwych wyników. Przypisanie każdej kostce liczby wyrzuconych oczek i zobrazowanie wyniku w postaci pary $(i, j) \in R^2$ , gdzie $1 \leqslant i, j \le 6$ jest zmienną losową.

Zmiennymi losowymi są również następujące funkcje: „iloczyn liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „suma liczby oczek wyrzuconych na obu kostkach”, „liczba oczek wyrzuconych na pierwszej z kostek”.

Niech $Ω = [0,1]$ wraz z określoną na niej miarą Lebesgue'a. Każda funkcja ciągła z $\Omega \to \mathbb R$ jest zmienną losową.

[edytuj] Zobacz też

To jest tylko zalążek artykułu związanego z matematyką. Jeśli potrafisz, rozbuduj go.

Termin apelacji Karadżicia minął

O północy z piątku na sobotę minął ostateczny termin odwoływania się od ekstradycji do Trybunału ONZ zatrzymanego w poniedziałek w Belgradzie przywódcy bośniackich Serbów Radovana Karadżicia.

Włosi drżą przed imigrantami

Stały napływ nielegalnych imigrantów nie na żarty przestraszył włoski rząd. W związku z tym, tamtejsze władze ogłosiły w piątek stan kryzysowy na terenie całego kraju.

Uczył studentów jak godnie umierać

Zmarł Randy Pausch, niezwykły wykładowca amerykańskiego uniwersytetu, który przekonywał swoich studentów, że umieranie nie jest tragedią. Chory na raka naukowiec zyskał popularność dzięki opublikowanemu w internecie wykładowi, podczas którego robił pompki i śmiał się ze zbliżającej śmierci.

Z maczetami na uchodźców

23 osoby zostały ranne po tym, jak kilkudziesięciu mężczyzn zaatakowało mieszkańców ośrodka dla uchodźców w Norwegii. Napastnicy mieli przy sobie metalowe pręty i maczety.

Setki osób uciekają przed powodzią

Ponad 300 osób zostało ewakuowanych po tym, jak ulewne deszcze spowodowały powodzie w północno-wschodniej Rumunii. Woda uszkodziła drogi, mosty i linie energetyczne.

Linki: Strona g��wna

Encyklopedia